Đáp án:

a) Áp dụng định lí Py - ta - go Δ ABC vuông tại A, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
AC^2 = BC^2 - AB^2
AC^2 = 13^2 - 5^2
AC^2 = 169 - 25
AC^2 = 144
AC = √144
AC = 12 cm
Xét Δ ABC có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, suy ra AM = BC/2 = 13/2 = 6,5 cm
AE = AB/2 (đường trung tuyến CE)
=> AE = 5/2 = 2,5 cm
AN = AC/2 (đường trung tuyến BN)
=> AN = 12/2 = 6 cm
Áp dụng định lí Py - ta - go lần lượt trong Δ ABN vuông tại A và Δ AEN vuông tại A ta có:
BN^2 = AB^2 + AN^2
BN^2 = 25 + 36
BN = √71 ∽ 8,43 cm
CE^2 = AC^2 + AE^2
CE^2 = 144 + 6,25
CE = √150,25 ∽ 12,26 cm
Vậy AM = 6,5 cm ; BN = 8,43 cm ; CE = 12,26 cm.

Giải thích các bước giải:

a) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến (GT)

$\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.13=\frac{13}{2}=6,5\left(cm\right)$

ΔABC vuông tại A . ÁP dụng định lý Pitago ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$

$\Rightarrow AC=\sqrt{144}=12\left(cm\right)$

Ta có: BN là đươngf trung tuyến của AC (GT)

=> N là trung điểm của AC

=> AN = CN = AC : 2 = 12 : 2 = 6 (cm)

ΔABN vuông tại A. ÁP dụng định lý Pitago ta có:

$BN^2=AB^2+AN^2=5^2+6^2=25+36=61$

=> $BN=\sqrt{61}\left(cm\right)$

Ta có: CE là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> E là trung điểm của AB

=> AE = EB = AB : 2 = 5 : 2 = 2,5cm

ΔAEC vuông tại A. ÁP dụng định lý Pitago ta có:

$EC^2=AE^2+AC^2=\left(2,5\right)^2+12^2=150,25$

=> $EC=\sqrt{150,25}\left(cm\right)$