Đáp án:

$1)$ Ta có: 

Góc $C +$ góc $B +$ góc $A = 180$ độ (Tổng $3$ góc trong $1$ tam giác)

Hay: Góc $C + 45 + 90 = 180$

$⇒$ Góc $C = 180-90-45=45$ độ. 

$⇔$ Góc $C =$ góc $B$ (cùng $= 45$ độ)

Hay $ΔABC$ là tam giác vuông cân $⇔ AB=AC (1)$

Xét $Δ$ vuông cân $ABC$, có: 

$AD$ là đường cao 

$⇒ AD$ là đường phân giác, $AD$ là đường trung tuyến (Trong tam giác cân, đường cao vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến)

$⇔ BD=DC$ (Điều phải chứng minh)

$2)$ Ta có: 

$BE⊥BC ; AD⊥BC$

$⇒ BE//AD$ (Từ $⊥ → //$)

$⇒$ Góc $E1 =$ góc $A1$ (so le trong)

Xét $ΔBME$ và $ΔAMD,$ có: 

Góc $E1 =$ góc $A1$ (chứng minh trên)

$BM=MD$ ($M$ là trung điểm $BD$)

Góc $M1 =$ góc $M2$ (đối đỉnh)

$⇒ ΔBME = ΔAMD (g-c-g)$

$3)$ Vì $ΔBME = ΔAMD$ (Chứng minh câu $2$)

$⇔ BE = AD$ ($2$ cạnh tương ứng)

Xét $ΔABE$ và $ΔEDA,$ có: 

$EA:$ cạnh chung

Góc $E1 =$ góc $A1$ (chứng minh trên)

$BE=AD$ (Chứng minh trên)

$⇒ ΔABE = ΔEDA (c-g-c)$

$⇔ AB=ED$ ($2$ cạnh tương ứng)

Mà: $AB=AC$ (Theo $1$)

$⇔ ED=AC$ (Cùng bằng $AB$)

$4)$ Ta có: 

$BD=CD$ (Chứng minh câu $1$) $⇒ D$ là trung điểm $BC$

Xét $ΔEAC,$ có: 

$ED$ là đường trung tuyến của $BC$ (Vì $D$ là trung điểm của $BC$)

$CM$ là đường trung tuyến của $AE$ (Vì $M$ là trung điểm của $EA$) 

Mà: $ED$ và $CM$ cắt nhau tại $D$

$⇒ D$ là trọng tâm. 

$⇔ D$ là giao điểm của $3$ đường trung trực.

Hay $AD$ là đường trung trực của $EC.$ 

Vậy $AD$ cắt $EC$ tại trung điểm $EC$ 

BẠN THAM KHẢO NHA!!!