a, Theo bài ra ta có

ΔAEF có AH vừa là đường cao vừa là pg

⇒ ΔAEF cân tại A

b, Ta có Bx // EF

⇒ $\widehat{ABK}$ = $\widehat{AEF}$ ; $\widehat{AKB}$ = $\widehat{AFE}$ (cặp góc đồng vị bằng nhau)

Mà $\widehat{AEF}$ = $\widehat{AFE}$ (do ΔAEF cân tại A)
⇒ $\widehat{ABK}$ = $\widehat{AKB}$

⇒ ΔABK cân tại A

⇒ AB = AK ( t/c tam giác cân)

Lại có AE = AF (do ΔAEF cân tại A)

⇒ AB - AE = AK - AF

⇒ EB = FK

c, Xét ΔBCK có

M là trđ BC
BK // MF (do BK // EF ; M , E , F thẳng hàng)

⇒ MF là đường tb của ΔBCK

⇒ F là trđ KC
⇒ KF = FC

⇒ FC =EB
Lại có AB + AC = AE + EB + AF - FC

                         = AE + AF = 2 AE (do AE = AF)

⇒ AE = (AB + AC)/2

Đáp án:

 ở dưới

Giải thích các bước giải:

a) Xét ΔAEF có:

AH vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác

nên ΔAEF cân tại A

b) Ta có :Bx // EF(gt)

⇒∠ABK = ∠AEF và ∠AKB = ∠AFE ( 2 cặp góc ở vị trí đồng vị = nhau )

mà ∠AEF = ∠AFE (ΔAEF cân tại A)

⇒∠ABK = ∠AKB

⇒ΔABK cân tại A

⇒ AB = AK 

AE = AF (ΔAEF cân tại A)

⇒ AB - AE = AK - AF

⇒ EB = FK

c)

Xét ΔBCK có:

M là trung điểm của BC

BK // MF 

⇒ MF là đường trung bình

⇒ F là trung điểm của CK

⇒ KF = FC

⇒ FC =EB

AB + AC = AE + EB + AF - FC

= AE + AF = 2AE

⇒ AE = (AB + AC)/2(dpcm)