1) a) Tứ giác $BHCk$ có 2 đường chéo $BC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường

$\Rightarrow BHCK$ là hình bình hành.

b) $BHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow BK\parallel HC$

Mà $HC\bot AB$

$\Rightarrow BK\bot AB$ (đpcm)

c) Do $I$ đối xứng với $H$ qua $BC\Rightarrow IH\bot BC$ mà $HD\bot BC, D\in BC$

$\Rightarrow I$ đối xứng với $H$ qua $D\Rightarrow D$ là trung điểm của $HI$

Và $M$ là trung điểm của $HK$

$\Rightarrow DM$ là đường trung bình $\Delta HIK$

$\Rightarrow DM\parallel IK$

$\Rightarrow BC\parallel IK$

$\Rightarrow BCKI$ là hình thang

$\Delta CHI$ có $CD$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

$\Rightarrow \Delta CHI$ cân đỉnh $C$

$\Rightarrow CI=CH$ (*)

Mà tứ giác $BHCK$ là hình bình hành $\Rightarrow CH=BK$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $CI=BK$

Tứ giác $BCKI$ là hình bình hành có 2 đường chéo $CI=BK$

Suy ra $BCIK$ là hình thang cân.

Tứ giác $HGKC$ có $GK\parallel HC$ (do $BHCK$ là hình bình hành)

$\Rightarrow HGKC$ là hình thang có đáy là $GK\parallel HC$

 ...

2) a) Tứ giác $ADME$ có $\widehat A=\widehat D=\widehat E=90^o$

$\Rightarrow ADME$ là hình chữ nhật.

b) Để $ADME$ là hình vuông thì $\widehat{MAE}=45^o$

Trong $\Delta ABC$ dựng đường thẳng $Ax$ qua $A$ tại với $AC$ một góc $45^o$

$Ax\cap BC=M$ ta được điểm $M$ thỏa mãn $ADME$ là hình vuông

c) $\Delta $ vuông $BDM$ có $I$ là trung điểm $BM$

$\Rightarrow DI=IM(=\dfrac{1}{2}BM)\Rightarrow IMD$ cân đỉnh $I$

$\Rightarrow \widehat{DIM}=180^o-2\widehat{IMD} $ (1)

Tương tự $\Delta$ vuông $EMC$ có $EK=KC(=\dfrac{1}{2}MC)$

$\Rightarrow \Delta EKC$ cân đỉnh $K$

$\Rightarrow \widehat{EKC}=180^o-2\widehat{KCE}$ (2)

Mà $\widehat{IMD}=\widehat{KCE}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{DIM}=\widehat{EKC}$ mà chúng ở vị trí đồng vị của $BC$ cắt $DI$ và $EK$

$\Rightarrow DI\parallel EK$ (đpcm)