a,

Ta có: Kẻ $AH;BK;CF$ vuông góc với $BC;CA;AB$

Xét $ΔMBC$ và $ΔABC$ có chung đáy $BC$ 

$⇒\dfrac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\dfrac{MA'}{AH}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\dfrac{S_{MAC}}{S_{ABC}}=\dfrac{MB'}{BK}$

$\dfrac{S_{MAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{MC'}{CF}$

$⇒\dfrac{S_{MBC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{MAC}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{MAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{MA'}{AH}+\dfrac{MB'}{BK}+\dfrac{MC'}{CF}$

Hay $\dfrac{MA'}{AH}+\dfrac{MB'}{BK}+\dfrac{MC'}{CF}=1$ 

$⇒\dfrac{MA'+MB'+MC'}{AH}=1$ (do $ΔABC$ đều nên $AH=BK=CF$)

$⇒MA'+MB'+MC'=AH$ ko đổi

b, Xét $ΔABA'$ và $ΔABC$ chung đường cao $AH$

$⇒\dfrac{S_{ABA'}}{S_{ABC}}=\dfrac{A'B}{BC}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\dfrac{S_{BB'C}}{S_{ABC}}=\dfrac{B'C}{AC}$

$\dfrac{S_{CC'A}}{S_{ABC}}=\dfrac{C'A}{AB}$

Gọi giao 3 đường $AA';BB';CC'$ là $I$

$⇒S_{ABA'}+S_{BB'C}+S_{CC'A}=S_{C'AI}+S_{C'BI}+S_{IBA'}+S_{IBA'}+S_{IA'C}+S_{IB'C}+S_{IB'C}+S_{AIB'}+S_{AIC'}=2.(S_{C'AI}+S_{IBA'}+S_{IB'C})+S_{IC'B}+S_{IA'C}+S_{IAB'}=(S_{C'AI}+S_{IC'B})+(S_{IBA'}+S_{IA'C})+(S_{IB'C}+S_{IAB'})=S_{AIB}+S_{IBC}+S_{IAC}=S_{ABC}$

$⇒ \dfrac{S_{ABA'}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{BB'C}}{S_{ABC}}+\dfrac{S_{CC'A}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABA'}+S_{BB'C}+S_{CC'A}}{S_{ABC}}=1$

Hay $\dfrac{A'B}{BC}+\dfrac{B'C}{AC}+\dfrac{C'A}{AB}=1$

Hay $\dfrac{A'B+B'C+C'A}{BC}=1$

Do $AB=BC=CA$

$⇒A'B+B'C+C'A=BC$ không đổi

Tự vẽ hình nhé bạn