Giải

a, Xét ΔADE và  ΔADF có:

∠DEA = ∠DFA = $90^{o}$ (gt)

AD: cạnh chung

∠EAD = ∠FAD (do AD là tia phân giác ∠A)

⇒ ΔADE =  ΔADF (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ ED = DF (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔEDK và ΔFDI có:

ED = DF (cmt)

∠DEK = ∠DFI = $90^{o}$ (gt)

EK = FI (gt)

⇒ ΔEDK = ΔFDI (c.g.c)

⇒ DK = DI (2 cạnh tương ứng)

Vậy DK = DI

b, Ta có: ∠EAD = ∠FAD = $\frac{∠A}{2}$ = $\frac{120^o}{2}$ = $60^{o}$ 

Vì AD // với CM (gt) nên ∠FAD = ∠ICM (so le trong)

Mà ∠FAD = $60^{o}$ 

⇒ ∠ICM = $60^{o}$   (1)

Ta lại có: ∠BAC + ∠CAM = $180^{o}$ (kề bù)

⇒ $120^{o}$ +  ∠CAM = $180^{o}$ 

⇒ ∠CAM = $180^{o}$ - $120^{o}$

⇒ ∠CAM = $60^{o}$   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔAMC cân tại M

Mà ∠CAM = $60^{o}$ (cmt)

⇒ ΔAMC đều (đpcm)

Vì ΔAMC đều (cmt) nên AM = CM = AC (= a)

Ta có: AF = AC - CF

⇒ AF = a - b

Xét ΔADF có:

ΔADF vuông tại F, ∠FAD = $60^{o}$

⇒ ∠ADF = $30^{o}$

⇒ AF = $\frac{AD}{2}$ (Bất đẳng thức trong tam giác vuông)

⇒ 2AF = AD

Mà AF = a - b

⇒ AD = 2(a - b)

⇒ AD = 2a - 2b

Vậy AD = 2a - 2b