a) Xét $∆ABK$ có:

$AH = HM$

$\Rightarrow BH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AK$

$BH\perp AK \,(BH\perp AH)$

$\Rightarrow BH$ là đường cao ứng với cạnh $AK$

Do đó $∆ABK$ cân tại $B$

Tương tự, trong $∆ACK$ có:

$CH\perp AK$

$AH = HM$

$\Rightarrow ∆CAK$ cân tại $C$

b) Ta có: $AE//BC \, (gt)$

$\Rightarrow AH\perp AE \, (AH\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{HAE} = 90^o$

$CE//AH \, (gt)$

$\Rightarrow CE\perp BC \, (AH\perp BC)$

$\Rightarrow \widehat{HCE} = 90^o$

Xét tứ giác $AHCE$ có:

$\widehat{HAE} = \widehat{HCE} = \widehat{AHC} = 90^o$

Do đó $AHCE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow AH= CE; \, \widehat{AEC} = 90^o$

$\Rightarrow AE\perp CE$

c) Xét hình chữ nhật $AHCE$ có:

$I$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $HE$

$\Rightarrow IA = IH = IC = IE$

$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$

Xét $∆CAK$ có:

$CH$ là trung tuyến ứng với cạnh $AK$

$KI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$

$KI$ cắt $CH$ tại $Q$

$\Rightarrow Q$ là trọng tâm của $∆CAK$

Ta lại có: $MK = MC \, (gt)$

$\Rightarrow AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $KC$

$\Rightarrow Q \in AM$

$\Rightarrow A, Q, M$ thẳng hàng

d) $AB//QK$

$\Rightarrow QK\perp AC \, (AB\perp AC)$

mà $QK$ là trung tuyến ứng với cạnh $AC$

$\Rightarrow ∆KAC$ cân tại $K$

Ta lại có: $∆KAC$ cân tại $C$

$\Rightarrow ∆KAC$ đều

$\Rightarrow \widehat{KAC} = 60^o$

mà $\widehat{KAC} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

nên $\widehat{ABC} = 60^o$

$\Rightarrow ABC$ là nửa tam giác đều cạnh $BC$, $\widehat{B} = 60^o$