Đáp án:

Giải thích các bước giải:
a/ Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABD có:
$BD^2=AB^2+AD^2=(3\sqrt{3})^2+3^2=9.3+9=36$
=> $BD = \sqrt{36} = 6$ (cm)

Xét tam giác $AHD$ và tam giác $BAD$
Có góc $AHD$ = góc $BAD$ (=90 độ)
góc $ADH$ chung
=> Tam giác $AHD$ đồng dạng tam giác $BAD$
=> $\frac{AH}{AB} = \frac{AD}{BD}$
=> $AH = \frac{AB.AD}{BD} = \frac{3\sqrt{3}.3}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Xét tam giác $HAD$ và tam giác $DAF$
Có góc $AHD$ = góc $ADF$ (=90 độ)
góc $DAH$ chung
=> Tam giác $HAD$ đồng dạng tam giác $DAF$
=> $\frac{AD}{AF} = \frac{AH}{AD}$
=> $AF = \frac{AD^2}{AH} = \frac{3^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$

b/ Xét tam giác $ABD$ và tam giác $DAF$
Có: góc $BAD$ = góc $FDA$ (=90 độ)
góc $ADB$ = góc $DFA$ (cùng phụ góc $HDF$)
=> Tam giác $ABD$ đồng dạng tam giác $DAF$
=> $\frac{AH}{DB}=\frac{DH}{AF}$ (2 tam giác đồng dạng được lập tỉ số đường cao nữa nha)
=> $AH.AF=DH.BD$

c/ Từ câu b suy ra $DH=\frac{AH.AF}{BD}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}.2\sqrt{3}}{6} = \frac{3}{2}$
Diện tích tam giác ABD là: $\frac{1}{2}.AB.AD = \frac{1}{2}.3\sqrt{3}.3=\frac{9\sqrt{3}}{2}$ (cm^2)
Ta có $HF = AF-AH= 2\sqrt{3}-\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Diện tích tam giác DHF là: $\frac{1}{2}.DH.HF=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$ (cm^2)
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: $AB.AD=3\sqrt{3}.3=9\sqrt{3}$ (cm^2)
Diện tích tứ giác BCFH là: $9\sqrt{3}-\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{33\sqrt{3}}{8}$ (cm^2)