a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow AB^2 = BC^2 - AC^2 = 8^2 - (4\sqrt{3})^2 = 16$

$\Rightarrow AB = \sqrt{16} = 4 \, cm$

b) Xét $ΔDAC$ và $ΔDEB$ có:

$\widehat{D}:$ góc chung

$\widehat{BAC} = \widehat{BEC} = 90^o$

Do đó $ΔDAC \sim ΔDEB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{DA}{DE} = \dfrac{DC}{DB}$

$\Rightarrow DA.DB=DE.DC$

c) Xét $ΔDBC$ có:

$AC\perp DB \, (AC\perp AB)$

$BE\perp DC \, (gt)$

$H = AC\cap BE$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $ΔDBC$

$\Rightarrow DH\perp BC$

Ta có: $ΔDAC \sim ΔDEB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{DA}{DE} = \dfrac{DC}{DB}$

$\Leftrightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$

Xét $ΔDAE$ và $ΔDCB$ có:

$\dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$

$\widehat{D}:$ góc chung

Do đó $ΔDAE\sim ΔDCB \, (c.g.c)$

 $\Rightarrow \dfrac{DA}{DC} = \dfrac{AE}{BC}$

$\Rightarrow AE = \dfrac{DA.BC}{DC} = \dfrac{AC.BC}{AC\sqrt{2}}= \dfrac{BC\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \, cm$