a) Gọi M là trung điểm BC. Lấy điểm D sao cho O là trung điểm CD
Xét ΔΔ BCD có :

M là trung điểm BC, O là trung điểm CD

⇒ OM là đường trung bình của ΔΔ BCD

OM=\(\dfrac{1}{2}\)DB và OM // DB

mà OM ⊥ BC ( OM là đường trung trực của BC

⇒ DB⊥BC

mà AH ⊥ BC ( AH là đường cao của ΔABC )

⇒ AH // DB

Xét ΔABH và ΔBAD có :

\(\widehat{HAB}\)= \(\widehat{DBA}\)( 2 góc so le trong do AH // DB )

AB : cạnh chung

\(\widehat{ABH}\)= \(\widehat{BAD}\)( 2 góc so le trong do AH // DB )

⇒ ΔABH= ΔBAD ( g-c-g )

⇒ AH = BD ( 2 cạnh tương ứng)

mà OM=\(\dfrac{1}{2}\) DB => OM=\(\dfrac{1}{2}\)AH

⇒ AH = 2 OM ( đpcm )

b) Gọi G' là giao điểm của AM và OH, P là trung điểm G'H, Q là trung điểm G'A

Xét Δ AG'H có :

P là trung điểm G'H

Q là trung điểm G'A

⇒ PQ là đường trung bình của AG'H

⇒ PQ=1/2AH và PQ // AH

Do PQ = 1/ 2AH mà OM=1/2

⇒ PQ = OM

Do AH // OM ( cùng ⊥BC⊥BC ) mà PQ // AH

⇒ PQ // OM

Xét ΔPQG′ và ΔOMG′ có

\(\widehat{PQG'}\)= \(\widehat{OMG'}\)( 2 góc so le trong do PQ // OM)

PQ = OM (c/m trên )

\(\widehat{PQG'}\)= \(\widehat{MOG'}\) ( 2 góc so le trong do PQ //OM )

⇒ ΔPQG′ = ΔOMG′ (g.c.g )

⇒ G'Q = G'M và G'P = G'O
Ta có:

G'Q = G'M mà G′Q=\(\dfrac{1}{2}\)G′A( Q là trung điểm G'A )

⇒ G′M=\(\dfrac{1}{2}\)G′A mà G'M + G'A = AM

⇒ G′A=\(\dfrac{2}{3}\) mà AM là trung tuyến của ΔABC

⇒ G' là trọng tâm của ΔABC ,mà G là trọng tâm của ΔABC

⇒ G′≡ GG′≡ G
mà G′ ∈ OH =>G ∈ OH

⇒ O, H, G thẳng hàng ( đpcm )