Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `\triangleAHB` và `\triangleCAB` cùng vuông tại `H` và `A` có:

`\hat{B}` chung

`=> \triangleAHB` $\backsim$ `\triangleCAB` `(g. g)`

`=> (AH)/(AB) = (AC)/(CB)`

`=> AH. CB = AB. AC`

`b)` Xét tứ giác `DHEA` có:

`\hat{DAE} = 90^0` `(\triangleABC` vuông tại `A)`

`\hat{ADH} = 90^0` `(D` là hình chiếu của `H` trên `AB)`

`\hat{AEH} = 90^0` `(E` là hình chiếu của `H` trên `AC)`

`=> DHEA` là hình chữ nhật

`c)` Xét `\triangleABC` vuông tại `A` có:

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (Định lý Pytago)

`=> BC^2 = 9^2 +  12^2 = 15^2`

`=> BC = 15(cm)`

Ta có: `AH. CB = AB. AC` (chứng minh trên)

`=> AH = (AB. AC)/(BC) = (9. 12)/15 = 36/5 = 7,2 (cm)`

Lại có: `DHEA` là hình chữ nhật (chứng minh trên) `=> AH = DE` (2 đường chéo)

`=> DE = 7,2 (cm)`

`d)` Xét `\triangleDHB` và `\triangleDAH` cùng vuông tại `D` có:

`\hat{DHB} = \hat{DAH}` (cùng phụ `\hat{AHD}`)

`=> \triangleDHB` $\backsim$ `\triangleDAH` `(g. g)`

`=> (HD)/(DA) = (DB)/(HD) => HD^2 = DA. DB`    `(1)`

Xét `\triangleEAH` và `\triangleEHC` cùng vuông tại `E` có:

`\hat{EAH} = \hat{EHC}` (cùng phụ `\hat{AHE}`)

`=> \triangleEAH` $\backsim$ `\triangleEHC` `(g. g)`

`=> (HE)/(EA) = (EC)/(HE) => HE^2 = EA. EC`         `(2)`

Từ `(1)` và `(2) => DA. DB + EA. EC = HD^2 + HE^2`

Xét `\triangleDHE` có: `DE^2 = HD^2 + HE^2` (Định lý Pytago)

`=> DA. DB + EA. EC = DE^2`

Mà: `AH = DE => AH^2 = DE^2` (chứng minh trên)

`=> AH^2 = DA. DB + EA. EC`