Để $x^4+3x^3+x^2$ là số chính phương thì tổng đó phải có tận cùng là $0;1;4;5;6;9$.

Giải thích các bước giải:

Thay:

+) $n=1$

$1^4+3×1^3+1^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=2$

$2^4+3×2^3+2^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=3$

$3^4+3×3^3+3^2$(Chữ số tận cùng là 1) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=4$

$4^4+3×4^3+4^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=5$

$5^4+3×5^3+5^2$(Chữ số tận cùng là 5) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=6$

$6^4+3×6^3+6^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=7$

$7^4+3×7^3+7^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=8$

$8^4+3×8^3+8^2$(Chữ số tận cùng là 6) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=9$

$9^4+3×9^3+9^2$(Chữ số tận cùng là 9) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=0$

$0^4+3×0^3+0^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn

Với những số tự nhiên "n" bất kì thỏa mãn đk  $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương.

Ví dụ:

+) $n=30$

$30^4+3×30^3+30^2$(Chữ số tận cùng là 0) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=17$

$17^4+3×17^3+17^2$(Chữ số tận cung là 9) $⇒$ Thỏa mãn

+) $n=24$

$24^4+3×24^3+24^2$(Chữ số tận cùng là 4) $⇒$ Thỏa mãn

Kết luận: Với những số tự nhiên "n" bất kì thỏa mãn đk  $(n∈N)$ thì $n^4+3n^3+n^2$ sẽ là số chính phương.

Học tốt!!!

`+)` Xét `n=0` thì `0^4+3.0^3+0^2=0` `⇒` đây là một số chính phương.

`+)` Xét `n=1` thì `1^4+3.1^3+1^2=5` `⇒` đây không là một số chính phương.

`+)` Xét `n=2` thì `2^4+3.2^3+2^2=44` `⇒` đây không là một số chính phương.

`+)` Xét `n>2` thì ta giả sử `n^4+3n^3+n^2` là số chính phương thì `4.(n^4+3n^3+n^2)`  cũng là số chính phương.

Ta xét: `4.(n^4+3n^3+n^2)=4n^2+12n^3+4n^2=n^2(4n^2+12n+4)=n^2.(4n^2+12n+9-5)=n^2.[(2n+3)^2-5]`

Ta xét hiệu: `(2n+3)^2-5<(2n+3)^2`

Lại có `n>2` thì `n^2+12n+4>4n^2+8n+4` hay `(2n+3)^2-5>(2n+2)^2`

`⇒(2n+2)^2<(2n+3)^2-5<(2n+3)^2` 

Mà `(2n+2)^2,(2n+3)^2` là hai số chính phương liên tiếp nên không có một số chính phương nào giữa hai số chính phương liên tiếp (với `n∈NN`)

`⇒(2n+3)^2-5` không phải số chính phương.

`⇒n^2.[(2n+3)^2-5]` không phải số chính phương.

`⇒n^4+3n^3+n^2` không là số chính phương `⇒` giả sử sai.

Vậy `n=0.`