Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Xét \(32\) số :

\(1\)

\(11\)

\(111\)

..........

\(\underbrace{111...111}_{\text{32 số}}\)

Vì ta có $32$ số, mà mỗi số khi chia cho $31$ có thể dư $0,1,....,30$ (\(31\) loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left [ \frac{32}{31} \right ]+1=2\) số có cùng số dư khi chia cho $31$

Gọi hai số đó là \(\underbrace{111....1}_{m}\) và \(\underbrace{111....1}_{n}\) với \(m< n\)

Khi đó: \(\underbrace{111....1}_{n}-\underbrace{111....1}_{m}\vdots 31\)

\(\Leftrightarrow \underbrace{111....1}_{n}-\underbrace{111....1}_{m}\vdots 31\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-1}{9}-\frac{10^m-1}{9} \right )\vdots 31\)

\(\Leftrightarrow \left ( \frac{10^n-10^m}{9} \right )\vdots 31\Leftrightarrow \frac{10^m(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\Rightarrow \frac{(10^{n-m}-1)}{9}\vdots 31\)

\(\Leftrightarrow \underbrace{111...1}_{n-m}\vdots 31\)

Do đó tồn tại số toàn chữ số $1$ chia hết cho $31$

Xét 3232 số :

11

1111

111111

..........

111...11132 số111...111⏟32 số

Vì ta có 3232 số, mà mỗi số khi chia cho 3131 có thể dư 0,1,....,300,1,....,30 (3131 loại số dư) nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất [3231]+1=2[3231]+1=2 số có cùng số dư khi chia cho 3131

Gọi hai số đó là 111....1m111....1⏟m và 111....1n111....1⏟n với m<nm<n

Khi đó: 111....1n−111....1m⋮31111....1⏟n−111....1⏟m⋮31

⇔111....1n−111....1m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31⇔111....1⏟n−111....1⏟m⋮31⇔(10n−19−10m−19)⋮31

⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31⇔(10n−10m9)⋮31⇔10m(10n−m−1)9⋮31⇒(10n−m−1)9⋮31

⇔111...1n−m⋮31⇔111...1⏟n−m⋮31

Do đó tồn tại số toàn chữ số 11 chia hết cho 31