a) Ta có: $SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp BA \, (gt)$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

mà $BC\subset (SBC)$

nên $(SAB)\perp (SBC)$

b) Kẻ $AH\perp SB$

Do $BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp AH$

mà $AH\perp SB$ (cách dựng)

nên $AH\perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Xét $ΔBAC$ vuông cân tại $B$ có $AC = 2a$

$\Rightarrow AB= BC = a\sqrt{2}$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔSAB$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AH = \sqrt{\dfrac{(AB.SA)^2}{AB^2 + SA^2}} = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$

c) Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow OM//BC$

$\Rightarrow OM//(SBC)$

$\Rightarrow d(O;(SBC)) = d(M;(SBC)$

Kẻ $MI\perp SB$

$\Rightarrow MI//AH$

$\Rightarrow MI\perp (SBC)$

$\Rightarrow MI = d(M;(SBC))$

Ta có: $MI//AH \, (\perp SB)$

$MA = MB$

$\Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AH$ (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow MI = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Vậy $d(O;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$