a) Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BD$

mà $BD\perp AC$

$\Rightarrow BD\perp (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp SC$

Ta lại có: $BK\perp SC \, (gt)$

$\Rightarrow SC\perp (DBK)$

b) Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Kẻ $AH\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AH$

$\Rightarrow AH \perp (SBC)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔSAB$ vuông tại $A$ đường cao $AH$, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AH = \sqrt{\dfrac{(SA.AB)^2}{SA^2 + AB^2}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$

Tương tự, ta có:

$SA\perp CD$

$CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

Kẻ $AI\perp SD$

$\Rightarrow CD\perp AI$

$\Rightarrow AI\perp (SCD)$

$\Rightarrow AI=d(A;(SCD))$

Do $ΔSAD = ΔSAB$ (hai cạnh góc vuông)

nên $AI = AH$ (hai chiều cao tương ứng)

$\Rightarrow AI = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$

Gọi $OJ = d(O;(SBC))$

$\Rightarrow OJ//AH \, (\perp (SBC))$

mà $OA = OC$

$\Rightarrow OJ = \dfrac{AH}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{5}$ (tính chất đường trung bình)

c) Ta có:

$BD\perp (SAC)$ (chứng minh ở câu a)

$\Rightarrow BD\perp OK$

$SC \perp (DBK)$ (câu a)

$\Rightarrow SC\perp OK$

$\Rightarrow d(BD;SC) = OK$

Xét $ΔOKC$ và $ΔSAC$ có:

$\widehat{C}:$ góc chung

$\widehat{OKC} = \widehat{SAC} = 90^o$

Do đó $ΔOKC\sim ΔSAC \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{OK}{SA} = \dfrac{OC}{SC}$

$\Rightarrow OK = \dfrac{OC.SA}{SC}$

$OK = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.2a}{a\sqrt{6}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Ta có: $AD//BC$

$\Rightarrow AD//(SBC)$

mà $BK\subset (SBC)$

$\Rightarrow d(AD;BK) = d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) = \dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$