Ta có: $∆DAC = ∆CBD \, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{IAD} = \widehat{IBC}$

$∆DAB = ∆CBA\,(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{IDA} = \widehat{ICB}$

Xét $∆IAD$ và $∆IBC$ có:

$\widehat{IAD} = \widehat{IBC} \, (cmt)$

$\widehat{IDA} = \widehat{ICB} \, (cmt)$

$AD = BC \, (gt)$

Do đó $∆IAD = ∆IBC \, (g.c.g)$

$\Rightarrow IA = IB; \, IC = ID$

Ta lại có: $OD = OC$

$AD = BC$

$\Rightarrow OA = OB$

Do $OA = OB$

$IA = IB$

nên $OI$ là trung trực của $AB$

Mặt khác: $OA = OB$

$ID = IC$

nên $OI$ là trung trực của $CD$

Vậy $OI$ vừa là trung trực của $AB$ vừa là trung trực của $CD$

Xét $ΔDAB$ và $ΔCBA$ có:

$AD=BC$ (hthang $ABCD$ cân)

$\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (hthang $ABCD$ cân)
$AB$ chung

$⇒ΔDAB=ΔCBA(c.g.c)$

$⇒\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$

Hay $\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

 $⇒ΔIAB$ cân tại $I$

$⇒IA=IB$

Ta có:$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (hthang $ABCD$ cân)

Hay $\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$ 

$⇒ΔOCD$ cân tại $O$

$⇒OC=OD$

Mà $AD=BC$

$⇒OD-AD=OC-BC$

Hay $OA=OB$

$⇒ΔOAB$ cân tại $O$

Xét $ΔOIA$ và $ΔOIB$ có:

$OI$ chung

$OA=OB$

$IA=IB$

$⇒ΔOIA=ΔOIB(c.c.c)$

$⇒\widehat{IOA}=\widehat{IOB}$
$⇒OI$ là tia phân giác $\widehat{AOB};\widehat{COD}$

Xét $ΔOAB$ cân tại $O$ có: $OI$ là tia phân giác $\widehat{AOB}$

$⇒OI$ đồng thời là đường trung trực của $AB(1)$

Xét $ΔOCD$ cân tại $O$ có $OI$ là tia phân giác $\widehat{COD}$

$⇒OI$ đồng thời là đường trung trực của $CD(2)$

Từ $(1)(2)⇒đpcm$