Vì ABCD là hình thang cân ⇒ AD = BC

                                              ⇒ AC = BD ( tc )

Xét Δ ABC và Δ ABD có :

   AD = BC

   AC = BD          ⇒ Δ ABC = Δ ABD ( c . c . c )

   AB chung 

⇒∠ADB = ∠ACB

Xét Δ OAC và Δ OBD có :

   AC = BD

∠ADB = ∠ ACB ( cmt )      ⇒ Δ OAC =Δ OBD ( g . c . g )

∠O chung

⇒ OA = OB

mà OD ∩ OC tại O

⇒ OD = OC

Vì ABCD là hình thang cân ⇒ ∠ODC = ∠OCD

Kẻ OI∩DC tại N

Xét Δ OND và Δ ONC ta có :

    OD = OC ( cmt )

    ON  chung                    ⇒Δ OND = Δ ONC ( c . g . c )

  ∠ODC = ∠OCD 

⇒ O , I , N là 3 điểm thẳng hàng 

mà ABCD là hình thang cân

⇒ ON ⊥ CD

⇒OI ⊥ CD

mà AB // DC

⇒OI ⊥ AB

Vậy OI vừa là đường trung trực của AB và vừa là đường trung trực của DC (đpcm)

    ~CHÚC BẠN HỌC TỐT~    

Xét $ΔDAB$ và $ΔCBA$ có:

$AD=BC$ (hthang $ABCD$ cân)

$\widehat{DAB}=\widehat{CBA}$ (hthang $ABCD$ cân)
$AB$ chung

$⇒ΔDAB=ΔCBA(c.g.c)$

$⇒\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$

Hay $\widehat{IBA}=\widehat{IAB}$

 $⇒ΔIAB$ cân tại $I$

$⇒IA=IB$

Ta có:$\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ (hthang $ABCD$ cân)

Hay $\widehat{ODC}=\widehat{OCD}$ 

$⇒ΔOCD$ cân tại $O$

$⇒OC=OD$

Mà $AD=BC$

$⇒OD-AD=OC-BC$

Hay $OA=OB$

$⇒ΔOAB$ cân tại $O$

Xét $ΔOIA$ và $ΔOIB$ có:

$OI$ chung

$OA=OB$

$IA=IB$

$⇒ΔOIA=ΔOIB(c.c.c)$

$⇒\widehat{IOA}=\widehat{IOB}$
$⇒OI$ là tia phân giác $\widehat{AOB};\widehat{COD}$

Xét $ΔOAB$ cân tại $O$ có: $OI$ là tia phân giác $\widehat{AOB}$

$⇒OI$ đồng thời là đường trung trực của $AB(1)$

Xét $ΔOCD$ cân tại $O$ có $OI$ là tia phân giác $\widehat{COD}$

$⇒OI$ đồng thời là đường trung trực của $CD(2)$

Từ $(1)(2)⇒đpcm$