b. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH, đường cao HE, ta có: 

      $AH^2 = AB.AE$ (1) 

Tương tự, trong tam giác vuông ACH, đường cao HF: 

        $AH^2 = AC. AF$ (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: 

     $AB.AE = AF.AC$ 

c. Trong tam giác vuông ABH, đường cao HE, ta có: 

   $\dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HB^2}$   (3)

 Trong tam giác vuông ACH, đường cao HF, ta có: 

    $\dfrac{1}{HF^2} = \dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HC^2}$. (4)

Trừ (3) cho (4) vế theo vế, ta được: 

$\dfrac{1}{HE^2} - \dfrac{1}{HF^2} = \dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HB^2} - (\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HC^2})$ 

 $\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HB^2} - \dfrac{1}{HA^2} - \dfrac{1}{HC^2} = \dfrac{1}{HB^2} - \dfrac{1}{HC^2}$ 

Vậy: $\dfrac{1}{HE^2} - \dfrac{1}{HF^2} = \dfrac{1}{HB^2} - \dfrac{1}{HC^2}$

b) Xét $∆AEH$ và $∆AHB$ có:

$\widehat{A}:$ góc chung

$\widehat{E} = \widehat{H} = 90^o$

Do đó $∆AEH\sim ∆AHB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AE}{AH} = \dfrac{AH}{AB}$

$\Rightarrow AE.AB = AH^2$

Chứng minh tương tự đối với $∆AFH$ và $∆AHC$ ta được:

$AF.AC = AH^2$

Vậy $AE.AB = AF.AC$

c) Chứng minh công thức:

$\dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HB^2}$

Ta có: $AB.HE = AH.HB = 2S_{ABH}$

$\Rightarrow HE = \dfrac{AH.HB}{AB}$

$\Rightarrow HE^2 = \dfrac{AH^2.HB^2}{AB^2}$

$\Rightarrow HE^2 = \dfrac{AH^2.HB^2}{AH^2 + HB^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{AH^2 + HB^2}{AH^2.HB^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{HE^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HB^2}$

Chứng minh tương tự với $HF$, ta được:

$\dfrac{1}{HF^2} = \dfrac{1}{AH^2} + \dfrac{1}{HC^2}$

Ta có:

$\dfrac{1}{HE^2} - \dfrac{1}{HF^2}$

$=\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HB^2} - \left(\dfrac{1}{HA^2} + \dfrac{1}{HC^2}\right)$

$=\dfrac{1}{HB^2} - \dfrac{1}{HC^2}$ $(đpcm)$