Với ` n = 1` ; ta có ` 1^3 = 1^2 = 1` ( đúng )

Với ` n = 2` ; ta có ` 1^3 +2^3 = 1 + 8 = 9 = (1+2)^2` ( đúng )

Giả sử điều trên đúng với $n =k$ ; ta sẽ chứng minh với $n = k+1$ cũng đúng

Ta có 

` 1^3 +2^3 + ..... +k^3 = ( 1 + 2 + ..... + k )^2`

` => 1^3 + 2^3 +..... + k^3 +  (k+1)^3 = ( 1 + 2 +..... +k )^2 + (k+1)^3`

` = (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3`

Cần chứng minh ` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`

Đẳng thức cần chứng minh tương đương

` (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = ( 1 + 2+ 3 + ....... + k + k +1)^2`
` => (((k+1)k)/2)^2 + (k+1)^3 = (((k+1)k)/2)^2 + 2* (k(k+1))/2 * (k+1) + (k+1)^2`
` => (k+1)^3 = k(k+1)^2 + (k+1)^2 = (k+1)^3`

Đẳng thức được chứng minh

Vậy ` 1^3 + 2^3 +3^3 +...... + n^3 = (1+2+3+......n)^2` 

Ta chứng minh: $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2(1)$

Với $n=1,n=2,n=3$ thì hiển nhiên $(1)$ đúng

Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$

Viết lại thành: $1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2$

Ta chứng minh $(1)$ đúng với $n=k+1$

Tức: $1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+2+...+k+k+1)^2$

Xét vế phải: $(1+2+...+k+k+1)^2$

$= [(1+2+...+k)+(k+1)]^2\\= (1+2+...+k)^2+2(1+2+...+k)(k+1)+(k+1)^2\\=(1^3+2^3+...+k^3)+2.\dfrac{k(k+1)}{2}(k+1)+(k^2+2k+1)\\=(1^3+2^3+...+k^3)+k(k^2+2k+1)+k^2+2k+1\\=(1^3+2^3+...+k^3)+[k^3+2k^2+k+k^2+2k+1]\\= 1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3\text{(Bằng vế trái)}$

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Vậy với $n=k+1$ thì $(1)$ đúng

Do đó $(1)$ được chứng minh theo giải thiết quy nạp.

Kết luận: $1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...+n)^2$