a) Ta có: $SA\perp (ABCD) \, (gt)$

$\Rightarrow SA\perp AB$

$\Rightarrow ∆SAB$ vuông tại $A$

Tương tự, ta được: $SA\perp AD$

$\Rightarrow ∆SAD$ vuông tại $A$

$SA\perp AD$

$CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

mà $SD ⊂ (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp SD$

$\Rightarrow ∆SCD$ vuông tại $D$

$SA\perp BC$

$BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

mà $SB ⊂ (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

$\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại $B$

Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Ta có:

$SA\perp BD$

$BD\perp AC$

$\Rightarrow BD\perp (SAC)$

mà $SC ⊂ (SAC)$

$\Rightarrow BD\perp SC$

c) Ta có: $SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = \widehat{(SC;(ABCD))}$

$tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \widehat{SCA} = arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2} ≈ 35,26^o$

Ta có:

$AB = AD$

$\Rightarrow SD = SB$

$\Rightarrow ∆SBD$ cân tại $S$

mà $OB = OD$

$\Rightarrow SO\perp BD$

Xét $(ABCD)$ và $(SBD)$ có:

$(SBD)\cap (ABCD)=BD$

$SO ⊂ (SBD)$

$SO\perp BD \,(cmt)$

$AC ⊂ (ABCD)$

$AC\perp BD$

$\Rightarrow \widehat{SOA} = \widehat{((SBD);(ABCD))}$

$tan\widehat{SOA} = \dfrac{SA}{OA} = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$

$\Rightarrow \widehat{SOA} = arctan\sqrt{2} ≈ 54,74^o$

d) Ta có:

$(SCD)\cap (ABCD) = CD$

$AD ⊂ (ABCD)$

$AD\perp CD$

$SD ⊂ (SCD)$

$SD\perp CD$

$\Rightarrow \widehat{SDA} = \widehat{((SCD);(ABCD))}$

$tan\widehat{SDA} = \dfrac{SA}{AD} = \dfrac{a}{a} = 1$

$\Rightarrow \widehat{SDA} = 45^o$

Ta có: $SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$

$AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow ∆ACD$ là hình chiếu của $∆SCD$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow S_{∆ACD} = \dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{a^2}{2}$