Đáp án:

Bạn tham khảo nhé!

Giải thích các bước giải:

a) Ta có \(AM = MB = \frac{1}{2}AB,\,\,CN = ND = \frac{1}{2}CD\)

Mà \(AB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AM = MB = CN = ND\).

Xét tứ giác \(AMND\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AM = ND\,\,\left( {cmt} \right)\\AM\parallel ND\,\,\left( {AB\parallel CD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AMND\) là hình bình hành (dhnb).

Lại có \(AM = \frac{1}{2}AB,\,AD = \frac{1}{2}AB\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow AM = AD\)

\( \Rightarrow AMND\) là hình thoi (dhnb).

b) \(AMND\) là hình thoi (cmt)

\( \Rightarrow AN \bot DM\) tại \(I\) (Tính chất hình thoi)

\( \Rightarrow \widehat {MIN} = {90^0}\).

CMTT ta có \(BCNM\) là hình thoi

\( \Rightarrow MC \bot BN\) tại \(K\).

\( \Rightarrow \widehat {MKN} = {90^0}\).

\(AMND\) và \(BCNM\) là hình thoi

\( \Rightarrow MD\) là phân giác của \(\widehat {AMN}\), \(MC\) là phân giác của \(\widehat {BMN}\) (tính chất hình thoi).

Mà \(\widehat {AMN},\,\,\widehat {BMN}\) là hai góc kề bù.

\( \Rightarrow MD \bot MC \Rightarrow \widehat {IMK} = {90^0}\).

Xét tứ giác \(MKNI\) có \(\widehat {IMK} = \widehat {MIN} = \widehat {MKN} = {90^0}\).

\( \Rightarrow MKNI\) là hình chữ nhật (dhnb).

c) Để \(MKNI\) là hình vuông cần thêm điều kiện \(MI = MK\).

Mà \(MI = \frac{1}{2}MD,\,\,MK = \frac{1}{2}MC\)

\( \Rightarrow MD = MC \Rightarrow \Delta MCD\) cân tại \(M\).

\( \Rightarrow \) Trung tuyến \(MN\) đồng thời là đường cao \( \Rightarrow MN \bot CD\).

Mà \(MN\parallel AD\) (do \(AMND\) là hình thoi)

\( \Rightarrow AD \bot CD \Rightarrow ABCD\) là hình chữ nhật.

Vậy \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(MKNI\) là hình vuông.