a) Ta có: $AD = DB \, (gt)$

$AE = EC \, (gt)$

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình

$\Rightarrow DE//BC$

hay $DE//BF$

$BF = FC \, (gt)$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình

$\Rightarrow EF//AB$

hay $EF//BD$

Xét tứ giác $BDEF$ có:

$DE//BF$

$BD//EF$

Do đó $BDEF$ là hình bình hành

b) Ta có: $DE//BF$

$\Rightarrow DE//KF$

$\Rightarrow DEFK$ là hình thang đáy $DE, KF$ $(1)$

Ta lại có: $D$ là trung điểm cạnh huyền $AB$ trong $ΔKAB$ vuông tại $K$

$\Rightarrow KD=DA=DB=\dfrac{AB}{2}$

mà $EF=\dfrac{AB}{2}$ ($EF$ là đường trung bình)

nên $EF=KD$ $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow DEFK$ là hình thang cân

c) $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AK.BC = \dfrac{1}{2}.4.6 = 12 \, cm^2$

Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $AK$

$\Rightarrow AH=HK=\dfrac{AK}{2}$

$\Rightarrow S_{BDEF} = BF.HK = \dfrac{BC}{2}.\dfrac{AK}{2} = \dfrac{6.4}{4} = 6 \, cm^2$

$S_{BDEC} = \dfrac{1}{2}(DE+BC).HK = \dfrac{1}{2}(\dfrac{BC}{2} + BC).\dfrac{AK}{2} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{6}{2} + 6).\dfrac{4}{2} = 9 \, cm^2$