a) Ta có: $MA = MB \,(gt)$

$NA = NC \, (gt)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình

$\Rightarrow MN//BC$

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang đáy $MN, \, BC$

mà $AB = AC \, (gt)$

$\Rightarrow MB = NC$

Do đó $BMNC$ là hình thang cân

 b) Ta có: $HB = HC \, (gt)$

$\Rightarrow HN$ là đường trung bình

$\Rightarrow HN = \dfrac{AB}{2} = AM$

$\Rightarrow HN = AM = AN$

Tương tự, $MH$ là đường trung bình

$\Rightarrow MH = \dfrac{AC}{2} = AN$

$\Rightarrow HN = HM = AM = AN$

Do đó $AMHN$ là hình thoi

c) Ta có:

$HN = NK \, (gt)$

$\Rightarrow HK = AB$

mà $HN//AB$

$\Rightarrow HK//AB$

Do đó $BAKH$ là hình bình hành

Ta lại có $O$ là trung điểm đường chéo $AH$

$\Rightarrow O$ là trung điểm đường chéo $BK$

$\Rightarrow B, O, K$ thẳng hàng

d) Do $ABHK$ là hình bình hành

$\Rightarrow AK//BH$

hay $AK//BC$

$AK = BH$

$\Rightarrow AK = \dfrac{BC}{2}$

$\Rightarrow ∆ADK\sim ∆CDB$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{DC} = \dfrac{AK}{BC} = \dfrac{1}{2}$

hay $AD = \dfrac{DC}{2}$

$\Rightarrow AD = \dfrac{AC}{3}$

$\Rightarrow AC = 3AD$

mà $AC = AB$

nên $AB = 3AD$

a) Ta có : AM=12AB và AN=12AC

Mà AB =AC (Vì ΔABC cân tại A)

⇒AM=AN⇒ΔAMN cân tại A

⇒^ANM=1800−ˆA2 (1)

Vì ΔABC cân tại A

⇒^ACB=1800−ˆA2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒^ANM=^ACB⇒MN∖∖BC (3)

Ta có ˆB=ˆC (Vì ΔABC cân tại A) (4)

Từ (3) và (4) ⇒ BMNC là hình thang cân

b) Ta có : AB = AC (gt)

⇒12AB=12AC⇒12AB=12AC

⇒MB=NC⇒MB=NC

Xét ΔMBHΔMBH và ΔNCHΔNCH có :

MB = NC (cmt)

BH = HC (gt)

Bˆ=CˆB^=C^ (gt)

⇒ΔMBH=ΔNCH⇒ΔMBH=ΔNCH (c . g . c)

⇒MH=NH⇒MH=NH

Ta có : AM = AN (câu a)

⇒ AMNH là hình thoi