Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Gọi giao điểm của CI và BE là F

⇒CF⊥BE tại F

Ta có: ΔCEF vuông tại F(CF⊥BE, F∈BE)

nên FCEˆ+CEFˆ=900FCE^+CEF^=900(hai góc nhọn phụ nhau)

⇔ACIˆ=900−FECˆ⇔ACI^=900−FEC^

mà FECˆ=AEBˆFEC^=AEB^(hai góc đối đỉnh)

nên ACIˆ=900−AEBˆACI^=900−AEB^(1)

Ta có: ΔAEB vuông tại A(CA⊥BA, E∈AC)

nên ABEˆ+AEBˆ=900ABE^+AEB^=900(hai góc nhọn phụ nhau)

hay ABEˆ=900−AEBˆABE^=900−AEB^(2)

Từ (1) và (2) suy ra ACIˆ=ABEˆACI^=ABE^

Xét ΔACI vuông tại A và ΔABE vuông tại A có

AC=AB(ΔABC vuông cân tại A)

ACIˆ=ABEˆACI^=ABE^(cmt)

Do đó: ΔACI=ΔABE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒CI=BE(hai cạnh tương ứng)(đpcm1)

b) Ta có: ΔACI=ΔABE(cmt)

⇒AI=AE(hai cạnh tương ứng)

mà AD=AE(gt)

nên AI=AD

mà A,I,D thẳng hàng

nên A là trung điểm của ID

Ta có: CI⊥BE(gt)

MD⊥BE(gt)

NA⊥BE(gt)

Do đó: CI//MD//NA(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác MDIC có MD//CI(cmt)

nên MDIC là hình thang có hai đáy là MD và CI(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang MDIC(MD//CI) có

A là trung điểm của cạnh bên ID(cmt)

AN//MD//CI(cmt)

Do đó: N là trung điểm của CM(định lí 3 về đường trung bình của hình thang)

⇒NM=NC(đpcm2)