Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔABD` và `ΔEBD` có:

`\hat{BAD}=\hat{BED}=90^0 (ΔABC` vuông tại `A; DE⊥BC;E∈BC)`

`BD`: cạnh chung

`\hat{ABD}=\hat{EBD} (BD` là đường phân giác của `\hat{ABC})`

`=> ΔABD=ΔEBD` (cạnh huyền-góc nhọn) `=> AB=EB`

Gọi `H` là giao điểm của `BE` và `AD `

Xét `ΔABH` và `ΔEBH` có:

`AB=EB` (cmt)

`\hat{ABH}=\hat{EBH} (BD` là phân giác của `\hat{BAC};H∈BD)`

`BH`: cạnh chung

`=> ΔABH=ΔEBH` (c.g.c)

`=> AH=HE; \hat{AHB}=\hat{EHB}`

mà `\hat{AHB}+\hat{EHB}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{AHB}=\hat{EHB}=90^0  => BH⊥AE => BD⊥AE` tại `H`

lại có `H` là trung điểm của `AE (AH=HE)`

`=> BD` là đường trung trực của `AE`

b) `ΔABC` vuông tại `A => AB⊥AC => AF⊥AC (F∈AB)`

`ΔABE=ΔEBD` (cmt) `=> AD=DE`

Xét `ΔADF` và `ΔEDC` có:

`\hat{DAF}=\hat{DEC}=90^0 (AF⊥AC;DE⊥BC)`

`AD=DE` (cmt)

`\hat{ADF}=\hat{EDC}` (đối đỉnh)

`=> ΔADF=ΔEDC` (g.c.g) `=> DF=DC` 

`=> ΔDCF` cân tại `D`

c) `ΔABC` vuông tại `A => \hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0`

mà `\hat{ABC}=60^0 => \hat{ACB}=30^0 => \hat{ECA}=30^0`

Xét `ΔABE` có: `AB=BE` (cmt)

`=> ΔABE` cân tại `B`

lại có `\hat{ABE}=60^0 (\hat{ABC}=60^0; E∈BC)`

`=> ΔABE` đều `=> AB=BE=AE; \hat{BAE}=60^0`

`\hat{BAE}+\hat{EAC}=\hat{BAC}=90^0`

`=> 60^0 +\hat{EAC}=90^0 => \hat{EAC}=30^0`

Xét `ΔEAC` có: `\hat{EAC}=\hat{ECA}=30^0`

`=> ΔEAC` cân tại `E => EA=EC`

lại có `EA=BE` (cmt) `=> BE=EC`

`=> E` là trung điểm của `BC `

`=> BE=EC=AB=1/2 BC=1/2 . 12=6cm`

`ΔADF=ΔEDC` (cmt) `=> AF=EC => AF=AB `

`=> A` là trung điểm của `BF`

`ΔABC` vuông tại `A => AB^2+AC^2=BC^2` (định lý pytago)

`=> AC^2=BC^2-AB^2=12^2-6^2=108 => AC=6\sqrt{3}cm`

Xét `ΔBFC` có:

`CA` là đường trung tuyến (`A` là trung điểm của `BF`)

`FE` là đường trung tuyến (`E` là trung điểm của `BC`)

`D` là giao điểm của `CA` và `EF`

`=> D` là trọng tâm `ΔABC`

`=> \frac{DC}{CA}=2/3 => DC=CA. 2/3 = 6\sqrt{3} . 2/3 = 4\sqrt{3}`