a, Có AB= $\frac{3}{4}$. AC => AB²=  $\frac{9}{16}$. AC²

Xét ΔABC vuông tại A

=> BC²= AB²+ AC² (Pytago)

<=>  $\frac{9}{16}$. AC²+ AC²= 20²

<=>  $\frac{25}{16}$. AC²= 400

<=> AC²= 256

=> AC=16 (cm)(vì AC >0)

=> AB= 12 cm

Xét ΔABC vuông tại A

=> AB²= BH. BC

=> BH= $\frac{AB²}{BC}$= 7,2 (cm)

Có HC= BC- BH= 20- 7,2= 12,8 (cm)

Xét ΔABC vuông tại A

=> AH²= BH. HC = 7,2. 12,8= 92,16

=> AH= 9,6 (cm)(vì AH>0)

b, Xét ΔMBH vuông tại M có MI là đường trung tuyến

=> MI= 1/2. BH= 1/2. 7,2= 3,6 (cm)

Cm tương tự: NK= 1/2. HC= 1/2. 12,8= 6,4 (cm)

Xét tứ giác AMHN có ∠MAN= ∠AMH= ∠ANH = 90 độ

=> AMHN là hình chữ nhật

=> AH= MN = 9,6 cm(vì AH, MN là đường chéo)

Có HM ⊥ AB

AC ⊥ AB

=> HM// AC

=> ∠IHM= ∠KCN

Có MI là đường trung tuyến Δvuông MBH

=> MI= IH => ΔMIH cân tại I => ∠MHI= ∠IMH

Cm tương tự: ∠KCN= ∠KNC

Xét ΔMIH có ∠BIM là góc ngoài tại I => ∠BIM= ∠MHI+ ∠IMH= 2∠IHM

Xét ΔNKC có ∠HKN là gcos ngoài tại K=> ∠HKN= ∠KCN+ ∠KNC= 2∠KCN

Mà ∠IHM= ∠KCN

=> ∠BIM= ∠HKN

Mà chúng ở vị trí đồng vị do BC cắt MI, KN

=> MI // KN

Xét tứ giác MIKN có MI// KN

=> MIKN là hình thang

=> S MIKN= 1/2. (MI+ KN). MN= 1/2. (3,6+ 6,4). 9,6= 48 (cm²)

c, Có AB²= BH. BC

AC²= HC. BC

=> $\frac{AB². AC²}{BC²}$= $\frac{BH.BC.BC.HC}{BC.BC}$= BH.HC

Mà AH²= BH.HC

=> $\frac{AB². AC²}{BC²}$= AH²

Có AH= MN

=> MN²= $\frac{AB². AC²}{BC²}$