a) Ta có: $OB\perp BM \, (gt)$

⇒ $\widehat{OBM} = 90^o$

$OC\perp CM \, (gt)$

⇒ $\widehat{OCM} = 90^o$

Xét tứ giác $MBOC$ có:

$\widehat{OBM} + \widehat{OCM} = 180^o$

Do đó $MBOC$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét tứ giác $ABOM$ có:

$\widehat{OBM} = 90^o$

$\widehat{OAM} = 90^o \, (gt)$

$\widehat{OBM} \, và \, \widehat{OAM}$ cùng nhìn cạnh $OM$

do đó $ABOM$ là tứ giác nội tiếp

⇒ $\widehat{BAO} = \widehat{BMO}$ (cùng nhìn cạnh $OB$)

mà $\widehat{BMO} = \widehat{HBO}$ (cùng phụ $\widehat{MBH}$)

nên $\widehat{BAO} = \widehat{HBO}$

Xét $ΔHOB \, (\widehat{H} = 90^o \, và \, ΔKBA \, (\widehat{K} = 90^o)$ có:

$\widehat{BAK} = \widehat{HBO} \, (cmt)$

Do đó $ΔHOB\sim ΔKBA \, (g.g)$

⇒ $\dfrac{HO}{KB} = \dfrac{HB}{KA}$

⇒ $KA.HO = KB.HB$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ và $OA$

Xét $ΔHOI \, (\widehat{H} = 90^o) \, và \, ΔAOM \, (\widehat{A} = 90^o)$ có:

$\widehat{MOA}:$ góc chung

Do đó $ΔHOI\sim ΔAOM \, (g.g)$

⇒ $\dfrac{HO}{OA} = \dfrac{OI}{OM}$

⇒ $OI = \dfrac{HO.OM}{OA}$

Ta có: $HO.OM = OB^{2}$ (hệ thức lượng trong $ΔOBM$ vuông tại $B$ đường cao $BH$)

⇒ $OH.OM = R^{2}$

⇒ $OH.OM$ không đổi

mà $A$ cố định

⇒ $OA$ không đổi

⇒ $OI = \dfrac{HO.OM}{OA} = \dfrac{R^{2}}{OA}$ không đổi

Vậy $BC$ luôn đi qua điểm $I$ trên cạnh $OA$ với $OI = \dfrac{R^{2}}{OA}$