a) Ta có: $OP\perp ED \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{OPD} = 90^o$

Ta lại có: $CB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ $(gt)$

$\Rightarrow OB\perp CB$

$\Rightarrow \widehat{OBD} = 90^o$

Xét tứ giác $OPDB$ có:

$\widehat{OPD} + \widehat{OBD} = 180^o$

Do đó $OPDB$ là tứ giác nội tiếp

Tương tự, tứ giác $OPAE$ có:

$\widehat{OPE} = \widehat{OAE} = 90^o$

$\widehat{OPE} \, và \, \widehat{OAE}$ cùng nhìn cạnh $OE$

Do đó $OPAE$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có: $\widehat{AOE} = \widehat{APE}$ (cùng nhìn cạnh $AE$)

$\widehat{BOD} = \widehat{BPD}$ (cùng nhìn cạnh $BD$)

mà $\widehat{APE} = \widehat{BPD}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{BOD} = \widehat{AOE}$

Xét $∆AOE$ và $∆BOD$ có:

$\widehat{BOD} = \widehat{AOE}$ $(cmt)$

$OA = OB = R$

$\widehat{OAE} = \widehat{OBF} = 90^o$

Do đó $∆AOE = ∆BOD \, (g.c.g)$

$\Rightarrow OE = OD$

$\Rightarrow ∆OED$ cân tại $O$

mà $OP\perp ED$

$\Rightarrow OP$ là đường cao

$\Rightarrow OP$ cũng là trung tuyến

$\Rightarrow P$ là trung điểm $ED$

c) Do $∆AOE = ∆BOD$ (chứng minh ở câu b)

$\Rightarrow \widehat{BDO} = \widehat{OEA}$

mà $\widehat{BDO}$ là góc ngoài của $\widehat{ODC}$

$\Rightarrow CDOE$ là tứ giác nội tiếp

d) Ta có:

$CA^{2} - AE^{2} = (CA - AE)(CA + AE) = CE.(CA - AE)$

mà $AE = BD$ $(∆AOE = ∆BOD)$

$CA = CB$ ($CA, CB$ là các tiếp tuyến của $(O)$ với $B,C$ là các tiếp điểm)

nên $CA - AE = CB - BD = CD$

Do đó $CA^{2} - AE^{2} = CE.CD$

e) $CA, CB$ là các tiếp tuyến của $(O)$ với $B,C$ là các tiếp điểm $(gt)$

$\Rightarrow OC$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow \widehat{OHA} = 90^o$ (với $H$ là giao điểm của $OC, AB$)

Ta có: $AB = R\sqrt{3} \Rightarrow AH = \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \Rightarrow OHA$ là nửa tam giác đều

$\Rightarrow OAC$ là nửa tam giác đều

$\Rightarrow AC = OA\sqrt{3} = R\sqrt{3}$

$∆HAO$ là nửa tam giác đều cạnh $OA$

$\Rightarrow \widehat{OAH} = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{OEP} = 30^o$

$\Rightarrow EOH$ là nửa tam giác đều

$EO = 2OP = \dfrac{4R}{3}$

Áp dụng Pytago ta được:

$EO^{2} = EA^{2} + AO^{2}$

$\Rightarrow EA = \sqrt{EO^{2} - AO^{2}} = \sqrt{(\dfrac{4R}{3})^{2} - R^{2}} = \dfrac{R\sqrt{7}}{3}$

Vậy $S_{∆EOC} = \dfrac{1}{2}CE.OA = \dfrac{1}{2}.(R\sqrt{3} + \dfrac{R\sqrt{7}}{3}).R = R^2(\dfrac{\sqrt{7} + 3\sqrt{3}}{3})$