a) Xét $ΔMNH(\widehat{H} = 90^o)$ và $ΔKNH(\widehat{H} = 90^o)$ có:

$NH:$ cạnh chung

$MH = HK$ $(gt)$

Do đó $ΔMNH = ΔKNH$ (hai cạnh góc vuông)

b) Ta có: $\widehat{M} = 90^o - \widehat{P} = 90 - 30 = 60^o$

mà $\widehat{M} = \widehat{NKH}$ ($ΔMNH = ΔKNH$)

nên $\widehat{M} = \widehat{NKH} = 60^o$

⇒ $ΔMNK$ đều

c) Ta có $\widehat{KNP} = \widehat{NKM} - \widehat{P} = 60 - 30 = 30^o$

⇒ $ΔKNP$ cân tại $K$

⇒ $KP = KN$

Xét $ΔHNK$ vuông tại $H$ luôn có:

$KN > NH$ (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

nên $KP > HN$

d) Ta có: $PE\perp NK$ $(gt)$

⇒ $NE\perp PQ$

$NH\perp MP$ $(gt)$

⇒ $PH\perp NQ$

Xét $ΔNPQ$ có:

$NE$ là đường cao ứng với cạnh $PQ$ ($NE\perp PQ$)

$PH$ là đường cao ứng với cạnh $NQ$ ($PH\perp NQ$)

$NE$ cắt $PH$ tại $K$

⇒ $K$ là trực tâm của $ΔNPQ$

⇒ $OK\perp NP$

e) Ta có: $HP = HK + KP$

$= MH + KN$

$= MH + MK$

$= MH + 2MH$

$=3MH$

Vậy $HP = 3HM$