$\text{a) Xét ΔABD và ΔACE có:}$

$\text{$\widehat{ADB}$ = $\widehat{AEC}$ = $90^{o}$}$

$\text{AB = AC (ΔABC cân tại A)}$

$\text{$\widehat{A}$ chung}$

$\text{⇒ ΔABD = ΔACE (ch-gn) (1)}$

$\text{b) từ (1) ⇒ AD = AE (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{⇒ ΔAED cân tại A}$

$\text{c) Xét ΔAEH và ΔADH có:}$

$\text{AE = AD (cmt)}$

$\text{$\widehat{ADH}$ = $\widehat{AEH}$ = $90^{o}$}$

$\text{AH chung}$

$\text{⇒ ΔAEH = ΔADH (ch-cgv) (2)}$

$\text{⇒ EH = DH (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{⇒ H ∈ đg trung trực của ED}$

$\text{mà A ∈ đg trung trực của ED (AE = AD)}$

$\text{⇒ AH là đg trung trực của ED}$

$\text{d) Xét ΔBDC và ΔKDC có:}$

$\text{DC chung}$

$\text{$\widehat{BDC}$ = $\widehat{KDC}$ = $90^{o}$}$

$\text{DB = DK (gt)}$

$\text{⇒ ΔBDC = ΔKDC (c.g.c)}$

$\text{⇒ $\widehat{DBC}$ = $\widehat{DKC}$ (2 góc t/ứ) (3)}$

$\text{Xét ΔABH và ΔACH có:}$

$\text{AH chung}$

$\text{từ (2) ⇒ $\widehat{A1}$ = $\widehat{A2}$ (2 góc t/ứ)}$

$\text{⇒ ΔABH = ΔACH (c.g.c)}$

$\text{⇒ BH = CH (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{⇒ ΔHBC cân tại H}$

$\text{⇒ $\widehat{DBC}$ = $\widehat{ECB}$ (4)}$

$\text{từ (3), (4) ⇒ $\widehat{ECB}$ = $\widehat{DKC}$}$

a) $\Delta ABC$ cân tại A (gt)
$\Rightarrow AB=AC $
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có:
$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}(=90^{0})$
AB=AC (cmt)
$\widehat{BAC}$ chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE$ (cạnh huyền - góc nhọn) (*)
b) Từ (*)$\Rightarrow AD=AE$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta AED$ cân tại A
c) $AH\cap ED=O$
Từ (*)$\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (hai cạnh tương ứng)
Xét $\Delta EAO$ và $\Delta DAO$ có:
$AE=AD$ (cmt)
$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (cmt)
AO chung
$\Rightarrow \Delta EAO=\Delta DAO$ (c.g.c)
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
EO=OD (1)\\ 
\widehat{AOE}=\widehat{AOD}
\end{matrix}\right.$
mà $\widehat{AOE}+\widehat{AOD}=180^{0}$ (kề bù)
$\Rightarrow \widehat{AOE}=\widehat{AOD}=90^{0}$
$\Leftrightarrow AH\perp ED$ (2)
(1)(2)$\Rightarrow AH$ là đường trung trực của ED
d) Xét $\Delta BDC$ và $\Delta KDC$ có:
BD=DK (gt)
$\widehat{BDC}=\widehat{KDC}(=90^{0})$
DC chung
$\Rightarrow \Delta BDC=\Delta KDC$ (c.g.c)
$\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{CBD}$ (hai góc tương ứng) (3)
Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (\Delta ABC cân tại A)
mà Từ (*)$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (hai góc tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$
$\Leftrightarrow \widehat{CBD}=\widehat{BCD}$
$\Rightarrow \Delta DBC$ cân tại H
$\Rightarrow \widehat{DBC}=\widehat{DCB}$ (4)
$(3)(4)\Rightarrow \widehat{CKD}=\widehat{ECB}$