a)
• Ta có: $AD\perp BM$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{ADM} = 90^o$
$AD\perp CM$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{AEM} = 90^o$
Xét tứ giác $ADME$ có:
$\widehat{ADM} + \widehat{AEM} = 180^o$
Do đó $ADME$ là tứ giác nội tiếp
• Ta có: $AF\perp BC$ $(gt)$
$\Rightarrow \widehat{AFC} = 90^o$
Xét tứ giác $ACEF$ có:
$\widehat{AFC} = \widehat{AEC} = 90^o$
mà $\widehat{AFC}$  và $\widehat{AEC}$ cùng nhìn cạnh $AC$
nên $ACEF$ là tứ giác nội tiếp
b)
Ta có: $ABMC$ nội tiếp $(O)$
$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cùng bù $\widehat{ABM}$)
Xét $∆DAB(\widehat{D}= 90^o)$ và $∆EAC(\widehat{E} = 90^o)$ có:
$\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ $(cmt)$
Do đó $∆DAB\sim ∆EAC$ $(g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AD}{AE} = \dfrac{AB}{AC}$
Hay $AB.AE = AC.AD$
c)
Ta có $\widehat{AFD} = \widehat{ABF}$ (cùng nhìn cạnh $AD$)
mà $\widehat{ABD} = \widehat{ACE}$ (cùng bù $\widehat{ABM}$)
nên $\widehat{AFD} = \widehat{ACE}$
Ta lại có: $\widehat{EFC} = \widehat{EAC}$ (cùng nhìn cạnh $AC$)
$\Rightarrow \widehat{AFD} + \widehat{EFC} = \widehat{ACE} + \widehat{EAC} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{AFD} + \widehat{EFC} + \widehat{AFC} = 90 + 90 = 180^o$
$\Rightarrow D, F, E$ thẳng hàng
mà $F$ cố định
$\Rightarrow DE$ đi qua một điểm cố định
d)
Ta có: $ADME$ nội tiếp (câu a)
$\widehat{ADM} = \widehat{AEM} = 90^o$
$\widehat{ADM}$ và $\widehat{AEM}$ cùng nhìn đường chéo $AM$
$\Rightarrow ADME$ nội tiếp đường tròn đường kính $AM$
Gọi $I$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $ADME$
$\Rightarrow ID + IE \geq DE$
$DE$ lớn nhất $\Leftrightarrow DE = ID + IE = 2R'$
$\Leftrightarrow DE = AM$
mà $AM$ là dây cung của $(O)$
nên $AM$ lớn nhất khi $AM$ là đường kính
hay $M$ là điểm đối xứng của $A$ qua $O$
Vậy để $DE$ lớn nhất thì $M$ đối xứng với $A$ qua $O$