Đáp án:

$t_{cb} = \frac{m_1.c_1.t_1 + m_2.c_2.t_2 + ... + m_k.c_k.t_k +m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} + ... +m_n.c_n.t_n}{m_1.c_1 + m_2.c_2 + ... + m_k.c_k + m_{k+1}.c_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2} + ... + m_n.c_n}$

Giải thích các bước giải:

 Gọi nhiệt độ cân bằng là $t_{cb}$. 

Không mất tính tổng quát, giả sử trong n chất thì có k chất đầu (từ 1 đến k) thu nhiệt và n - k chất sau tỏa nhiệt.

Nhiệt lượng mà k chất đầu thu vào là:

$Q_{thu} = (m_1.c_1 (t_{cb} - t_1) + m_2.c_2(t_{cb} - t_2) + ... + m_k.c_k)(t_{cb} - t_k) = (m_1.c_1 + m_2.c_2 + ... + m_k.c_k).t_{cb} - (m_1.c_1.t_1 + m_2.c_2.t_2 + ... + m_k.c_k.t_k)$

Nhiệt lượng do chất sau tỏa ra là: 

$Q_{tỏa} = m_{k+1}.c_{k+1}(t_{k+1} - t_{cb}) + m_{k+2}.c_{k+2}.(t_{k+2} - t_{cb}) + ... + m_n.c_n.(t_n - t_{cb}) = m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} - m_{k+1}.c_{k+1}.t_{cb} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} - m_{k+2}.c_{k+2}.t_{cb} = (m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} + ... +m_n.c_n.t_n) - (m_{k+1}.c_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2} + ... + m_n.c_n).t_{cb}$

Phương trình cân bằng nhiệt: $Q_{tỏa} = Q_{thu}$ hay 

$(m_1.c_1 + m_2.c_2 + ... + m_k.c_k).t_{cb} - (m_1.c_1.t_1 + m_2.c_2.t_2 + ... + m_k.c_k.t_k) = (m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} + ... +m_n.c_n.t_n) - (m_{k+1}.c_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2} + ... + m_n.c_n).t_{cb}$ 

⇔ $(m_1.c_1 + m_2.c_2 + ... + m_k.c_k + m_{k+1}.c_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2} + ... + m_n.c_n).t_{cb} = m_1.c_1.t_1 + m_2.c_2.t_2 + ... + m_k.c_k.t_k +m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} + ... +m_n.c_n.t_n$

Vậy: $t_{cb} = \frac{m_1.c_1.t_1 + m_2.c_2.t_2 + ... + m_k.c_k.t_k +m_{k+1}.c_{k+1}.t_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2}.t_{k+2} + ... +m_n.c_n.t_n}{m_1.c_1 + m_2.c_2 + ... + m_k.c_k + m_{k+1}.c_{k+1} + m_{k+2}.c_{k+2} + ... + m_n.c_n}$

Nhận xét: Trong biểu thức tính nhiệt độ cân bằng không phụ thuộc vào việc vật nào tỏa nhiệt, vật nào thu nhiệt nên việc giả sử ban đầu của ta là hợp lý.

Đáp án:

\({t_{cb}} = \dfrac{{{m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3} + ... + {m_n}{c_n}{t_n}}}{{{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3} + ... + {m_n}{c_n}}}\)

Giải thích các bước giải:

Nhiệt độ cân bằng cuối cùng là:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{{Q_1} + {Q_2} + {Q_3} + ... + {Q_n} = 0}\\
{ \Leftrightarrow {m_1}{c_1}\left( {{t_{cb}} - {t_1}} \right) + {m_2}{c_2}\left( {{t_{cb}} - {t_2}} \right) + {m_3}{c_3}\left( {{t_{cb}} - {t_3}} \right) + ... + {m_n}{c_n}\left( {{t_{cb}} - {t_n}} \right) = 0}\\
{ \Leftrightarrow {m_1}{c_1}{t_{cb}} - {m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_{cb}} - {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_{cb}} - {m_3}{c_3}{t_3} + ... + {m_n}{c_n}{t_{cb}} - {m_n}{c_n}{t_n} = 0}\\
{ \Leftrightarrow {t_{cb}}({m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3} + ... + {m_n}{c_n}) - ({m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3} + ... + {m_n}{c_n}{t_n}) = 0}\\
{ \Leftrightarrow {t_{cb}} = \dfrac{{{m_1}{c_1}{t_1} + {m_2}{c_2}{t_2} + {m_3}{c_3}{t_3} + ... + {m_n}{c_n}{t_n}}}{{{m_1}{c_1} + {m_2}{c_2} + {m_3}{c_3} + ... + {m_n}{c_n}}}}
\end{array}\]