Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AP\perp PB\to DP\perp PA$

Mà $M$ là điểm chính giữa cung $AB\to MO\perp AB\to DO\perp AO$

$\to\widehat{DPA}=\widehat{DOA}=90^o$

$\to OADP$ nội tiếp

b.Từ câu a $\to\widehat{PAO}=\widehat{PDO}$

$\to\widehat{CAO}=\widehat{ODB}$

Mà $\widehat{AOC}=\widehat{DOB}=90^o$

$\to\Delta AOC\sim\Delta  DOB(g.g)$

$\to \dfrac{OC}{OB}=\dfrac{AC}{BD}$

$\to OB\cdot AC=OC\cdot BD$

c.Ta có $IP$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to\widehat{IPC}=\widehat{IPA}=\widehat{PBA}=90^o-\widehat{PAB}=\widehat{ACO}=\widehat{ICP}$

$\to\Delta IPC$ cân tại $I$

để $\Delta PIC$ đều 

$\to\widehat{IPC}=60^o\to \widehat{PBA}=60^o$

$\to\Delta PAB$ là nửa tam giác đều $\to PB=\dfrac12AB=R, AP=R\sqrt{3}$

Ta có $\widehat{ACO}=\widehat{ICP}=60^o\to\Delta AOC$ là nửa tam giác đều

$\to AC=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}, CO=\dfrac12AC=\dfrac{R}{\sqrt{3}}$

Từ câu b$\to \dfrac{AO}{DO}=\dfrac{OC}{OB}$

$\to OD=\dfrac{AO\cdot OB}{CO}$

$\to OD=\dfrac{R\cdot R}{\dfrac{R}{\sqrt{3}}}$

$\to OD=R\sqrt{3}$

$\to CD=DO-CO=R\sqrt{3}-\dfrac{R}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}R}{3}$

Ta có $\widehat{IPC}=\widehat{ICP}$

$\to 90^o-\widehat{IPC}=90^o-\widehat{ICP}$

$\to\widehat{IPD}=\widehat{IDP}$

$\to ID=IP$

$\to ID=IC$

$\to  I$ là trung điểm $CD$

$\to IC=\dfrac12CD=\dfrac{\sqrt{3}R}{3}$

$\to S_{PIC}=\dfrac{IC^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{(\dfrac{\sqrt{3}R}{3})^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}R^2}{12}$