Giải thích các bước giải:

b.Vì $AE$ là đường kính của $(O)\to AB\perp BE$

Mà $AE\perp MN$

$\to\widehat{ABE}=\widehat{AKM}=90^o$ 

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{MAK}$

$\to\Delta ABE\sim\Delta AKM(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AE}{AM}$
$\to AB.AM=AE.AK$

Tương tự chứng minh được $AC.AN=AE.AK$

$\to AB.AM=AC.AN$

c.Ta có $OB\perp BD$

$\to \widehat{MBD}=90^o-\widehat{ABO}=90^o-\widehat{OAB}=90^o-\widehat{BAE}=\widehat{AEB}=\widehat{AMK}=\widehat{BMD}$

$\to DB=DM$

Tương tự chứng minh được $DC=DN$

Mà $DB,DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to DB=DC\to DM=DN=DC=DB$

Ta có $AB.AM=AC.AN$

$\to BCNM$ nội tiếp

$\to D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Diamond BCNM$

Mà $D\in MN\to MN$ là đường kính của $(D)$
$\to NB\perp BM, MC\perp AC$

Lại có $EB\perp BM, EC\perp AC$

$\to B,E,N$ thẳng hàng, $M,E,C$ thẳng hàng

$\to NB\perp AM, MC\perp AN$

Mà $MC\cap BN=E$

$\to E$ là trực tâm $\Delta AMN$