a.

Ta có BD là tiếp tuyến của (O) (gt)

=> OB vuông BD

=> Góc OBD = 90°

Tương tự, ta được góc OCD = 90°

Xét tứ giác OCDB có

Góc OCD + góc OBD = 180°

Do đó OCDB là tứ giác nội tiếp.

b.

Gọi D là giao điểm của AO và (O)

=> AD là đường kính của (O)

=> Góc ABD = góc ACD (cùng nhìn đường kính AD)

=> AB vuông BD và AC vuông CD

Do H là trực tâm của ∆ABC nên

CH vuông AB

Mà BD vuông AB

Nên BD // CH

Tương tự: DC // BH (cùng vuông AC)

Do đó BDCH là hình bình hành

Ta lại có M là trung điểm của đường chéo BC (gt)

=> M cũng là trung điểm của đường chéo HP

Ta có M là trung điểm của dây cung BC (gt)

=> OM vuông BC

Mà AH vuông BC (H là trực tâm của ∆ABC)

Nên OM // AH (cùng vuông BC)

Xét ∆AHP có

M là trung điểm HP (cmt)

AH // OM (cmt)

=> OM là đường trung bình của ∆AHP

=> OM = AH/2

Hay AH = 2.OM

_______________

Cách khác:

Cách này sẽ thừa nhận đường thẳng Ơ-le và tính chất của nó.

Ta có M là trung điểm của BC

Nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Gọi G là giao điểm của AM và OH

=> G là trọng tâm của ∆ABC

Do AH // OM (cùng vuông BC)

Nên ∆AHG ~ ∆MOG

=> AH/MO = HG/OG = 2

=> AH = 2OM

** Cách này chỉ để tham khảo vì thường phải đi chứng minh lại đường thẳng Ơ-le

(Đường thẳng Ơ-le: trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng và HG = 2OG)