Giải thích các bước giải:

a.Vì $CK$ là đường kính của $(O)\to CB\perp BK\to\widehat{CBK}=90^o$

Ta có $CH\perp AB\to \widehat{CHA}=\widehat{CBK}=90^o$

Mà $\widehat{CAH}=\widehat{CAB}=\widehat{CKB}$

$\to \Delta CHA\sim\Delta CBK(g.g)$

$\to\dfrac{CH}{CB}=\dfrac{CA}{CK}$

$\to CH=\dfrac{AC\cdot BC}{CK}=\dfrac{AC\cdot BC}{2R}$

b.Vì $M$ là hình chiếu của $A$ trên $CK$

$\to\widehat{CMA}=\widehat{CHA}=90^o$

$\to AHMC$ nội tiếp

$\to\widehat{BHM}=\widehat{MCA}=\widehat{KCA}=\widehat{KBA}$

$\to HM//BK$

Do $CK$ là đường kính của $(O)\to BK\perp BC\to HM\perp BC$

c.Gọi $D$ là trung điểm $AB$

Kẻ $KE\perp AB=E$

$\to \widehat{AMK}=\widehat{AEK}=90^o,\widehat{KNB}=\widehat{KEB}=90^o$

$\to AMEK, KNEB$ nội tiếp

$\to \widehat{HMN}=\widehat{CAH}=\widehat{CKB}=\widehat{HEN}$

$\to HMEN$ nội tiếp

$\to\widehat{MEH}=\widehat{MEA}=\widehat{MKA}=\widehat{CKA}$

Mà $\widehat{MHE}=\widehat{MCA}=\widehat{KCA}$

$\to\Delta MHE\sim\Delta ACK(g.g)$

$\to\widehat{HME}=\widehat{CAK}=90^o$

$\to HE$ là đường kính của đương tròn ngoại tiếp $\Diamond HMEN$

Từ câu a $\to \dfrac{AH}{BK}=\dfrac{CA}{CK}$

$\to AH=\dfrac{BK\cdot CA}{CK}$

Ta có $\widehat{CHB}=\widehat{BEK}=90^o,\widehat{EBK}=\widehat{ABK}=\widehat{ACK}$

$\to\Delta EBK\sim\Delta ACK(g.g)$

$\to\dfrac{EB}{AC}=\dfrac{BK}{CK}$

$\to EB=\dfrac{AC\cdot BK}{CK}$

$\to AH=EB$

$\to DA-AH=DB-BE$

$\to DH=DE$

$\to D$ là trung điểm $HE$

$\to D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $HMEN$

$\to $Đường tròn ngoại tiếp $\Delta HMN$ là trung điểm $BA$ cố định