Đáp án:

Câu 1: $0,328125$

Câu 2: $m\in\{-12,12\}$

Câu 3: $V_{GABC}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{27}$

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

Vì hai đối thủ ngang tài nhau nên xác suất thắng của mỗi người bằng nhau và bằng $0.5$ và xác suất thua là $1-0.5$

Để người $I$ vô địch thì người thứ $I$ phải thắng thêm $1$ ván trước khi người thứ hai thắng $3$ ván tức là người thứ hai thắng nhiều nhất $2$ ván, ta chia thành các trường hợp:

$+)$Người thứ nhất thắng luôn trận tiếp theo, người thứ hai thua trận tiếp:

$\to p_1=0.5\cdot(1- 0.5)=0.25$

$+)$Người thứ nhất thua $1$ trận thắng $1$ trận, người thứ hai thắng $1$ trận thua $1$ trận:

$\to p_2=(1-0.5)\cdot 0.5 \cdot 0.5\cdot (1-0.5)=0.0625$

$+)$Người thứ nhất thua $2$ trận thắng $1$ trận, người thứ hai thắng $2$ trận thua $1$ trận:

$\to p_3=(1-0.5)\cdot (1-0.5)\cdot 0.5 \cdot 0.5\cdot (1-0.5)=0.015625$

$\to$Xác suất để người thứ $1$ vô địch là:

$p=0.25+0.0625+0.015625=0.328125$

Câu 2:

Ta có:

$y=x^3-13x+m$

$\to y'=3x^2-13$

$\to y'=0$

$\to 3x^2-13=0$

$\to x=\sqrt{\dfrac{13}{3}},\:x=-\sqrt{\dfrac{13}{3}}$

$\to $Khảo sát thấy $x=\sqrt{\dfrac{13}{3}}$ là hoành độ điểm cực tiểu của hàm số và $\:x=-\sqrt{\dfrac{13}{3}}$ là hoành độ điểm cực đại của hàm số

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $3$ điểm

$\to$Hàm số có nghiệm trong đoạn $[-\sqrt{\dfrac{13}{3}},\sqrt{\dfrac{13}{3}}]$

Gọi nghiệm đó là $x_0$

$\to -\sqrt{\dfrac{13}{3}}<x_0<\sqrt{\dfrac{13}{3}}$

$\to -2\le x_0\le 2$ vì $x_0\in Z$

$\to x_0\in\{-2,-1,0,1,2\}$ là nghiệm của $x^3-13x+m=0\to m=-x^3+13x$

$\to m\in\{-18, -12,0,12,18\}$

Thử lại $\to m\in\{-12,12\}$

Câu 3:

Gọi $D$ là trung điểm $BC$

Ta có $AC=AB, SC=SB\to\Delta SBC, \Delta ABC$ cân tại $S,A$

$\to SD\perp BC, AD\perp BC$

$\to BC\perp SAD$

Kẻ $AH\perp SD\to BC\perp AH$

$\to AH\perp SBC$

Ta có $\widehat{BAC}=120^o\to \widehat{CAD}=\widehat{DAB}=60^o$

Mà $AD\perp BC\to DB=DC=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}\to BC=AB\sqrt3$

$\to AB=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

$\to AC=AB=\dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

$\to AD=\dfrac12AB=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$

Ta có $SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=\sqrt{(a\sqrt3)^2-a^2}=a\sqrt2$

Xét $\Delta SAD$ có $SA=a\sqrt3, AD=\dfrac{a}{\sqrt{3}}, SD=a\sqrt2, AH\perp SD$

$\to S_{SAD}=\dfrac{a^2\sqrt5}6$ (Tính theo công thức Herông)

$\to \dfrac12AH\cdot SD=\dfrac{a^2\sqrt5}6$

$\to \dfrac12AH\cdot a\sqrt2=\dfrac{a^2\sqrt5}6$

$\to AH=\dfrac{a\sqrt{10}}6$

$\to V_{SABC}=\dfrac13\cdot AH\cdot S_{SBC}$

$\to V_{SABC}=\dfrac13\cdot AH\cdot\dfrac12 SD\cdot BC$

$\to V_{SABC}=\dfrac13\cdot \dfrac{a\sqrt{10}}6\cdot\dfrac12\cdot a\sqrt2\cdot 2a$

$\to V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{9}$

Gọi $F$ là trung điểm $AB$

Vì $G$ là trọng tâm $\Delta SAB\to GF=\dfrac13SF$

$\to d(G,ABC)=\dfrac13(S,ABC)$

$\to V_{GABC}=\dfrac13V_{SABC}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{27}$