Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A\to AB=AC,\hat A=90^o$

$\to AB^2+AC^2=BC^2$

$\to AB^2+AB^2=BC^2$

$\to 2AB^2=36$

$\to BC^2=18$

$\to BC=3\sqrt{2}$

Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC$

Mà $AB=AC\to M, A\in$ trung trực $BC$

$\to AM$ là trung trực $BC\to AM\perp BC$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\to \hat B=\hat C=90^o-\dfrac12\hat A=45^o$

Ta có: $AM\perp BC\to \Delta AMB,\Delta AMC$ vuông tại $M$

Kết hợp $\hat B=45^o,\hat C=45^o$

$\to\Delta AMB,\Delta AMC$ vuông cân tại $M$

d.Ta có: $\Delta MAB,\Delta MAC$ vuông cân tại $M$

$\to \widehat{MAB}=\widehat{MAC}=45^o$

$\to\widehat{DAE}=\widehat{DAF}=45^o$

Mà $DE\perp AB, DF\perp AC\to \Delta ADE,\Delta ADF$ vuông cân tại $E,F$

$\to AE=ED=\dfrac{AD}{\sqrt2}, FA=FD=\dfrac{AD}{\sqrt2}, \widehat{ADE}=\widehat{ADF}=45^o$

$\to AE=AF, DE=DF, \widehat{EDF}=\widehat{EDA}+\widehat{ADF}=90^o$

$\to\Delta DEF$ vuông cân tại $D$

Xét $\Delta MAE,\Delta MAF$ có:

Chung $AM$

$\widehat{MAE}=\widehat{DAE}=45^o=\widehat{DAF}=\widehat{MAF}$

$AE=AF$

$\to\Delta MAE=\Delta MAF(c.g.c)$

$\to ME=MF$

$\to\Delta MEF$ cân tại $M$