Đáp án:

a) $BC=15cm$, $\triangle CBD$ cân tại C

b) $\triangle AHC=\triangle AKC$

c) $HK//BD$

Giải thích các bước giải:

a)

$\triangle ABC$ vuông tại A:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15(cm)$

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ADC$:

$AB=AD$ (gt)

$\widehat{BAC}=\widehat{DAC}\,\,\,(=90^o)$

$AC$: chung

$\to\triangle ABC=\triangle ADC$ (c.g.c)

$\to\widehat{ACB}=\widehat{ACD}$ (2 góc tương ứng)

$\to BC=DC$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle CBD$ cân tại C

b)

Xét $\triangle AHC$ và $\triangle AKC$:

$\widehat{AHC}=\widehat{AKC}\,\,\,(=90^o)$

$AC$: chung

$\widehat{ACH}=\widehat{ACK}$ (cmt)

$\to\triangle AHC=\triangle AKC$ (ch - gn)

$\to CH=CK$ (2 cạnh tương ứng)

$\to\triangle CHK$ cân tại C

c)

$\triangle CHK$ cân tại C (cmt)

$\to\widehat{CHK}=\widehat{CKH}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{HCK}+\widehat{CHK}+\widehat{CKH}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{HCK}+2\widehat{CHK}=180^o$ (1)

$\triangle CBD$ cân tại C (cmt)

$\to\widehat{CBD}=\widehat{CDB}$ (2 góc ở đáy)

$\widehat{BCD}+\widehat{CBD}+\widehat{CDB}=180^o$ (tổng 3 góc trong tam giác)

$\to\widehat{BCD}+2\widehat{CBD}=180^o$ (2)

Từ (1), (2) $\to\widehat{CHK}=\widehat{CBD}$

Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị

$\to HK//BD$