Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Gọi số n cần tìm là ab

Đáp án: $n=40$

Giải thích các bước giải:

Ta có: UCLN(2n+1,3n+1)=1 nên để 2n+1, 3n+1 đều là số chính phương

$\leftrightarrow (2n+1)(3n+1)=m^2(m\in Z)$

$\rightarrow 6n^2+5n+1=m^2\rightarrow 144n^2+120n+24=24m^2\rightarrow (12n^2+5)^2-24m^2=1(1)$

Đặt $p=12n+5$ từ (1) ta có:

$p^2-24m^2=1(2)$

Dễ thấy tất cả các nghiệm của (2) sinh ra từ dãy

$p_0=1,p_1=5,...,p_{k+2}=10p_{k+1}-p_k(k=1,2,...)$

$m_0=0,m_1=1,...,m_{k+2}=10m_{k+1}-m_k(k=1,2,...)$

Từ đó suy ra:

$$p_k\equiv 5(mod12\leftrightarrow\quad k\quad lẻ$$

Ta có:

$$n_k=\dfrac{p_{2k+1}-5}{12}$$

Theo trên thì:

$\begin{split}p_{2k+3}&=10p_{2k+2}-p_{2k+1}\\&=10(10p_{2k+1}-p_{2k})-p_{2k+1}\\&=99p_{2k+1}-10p_{2k}\\&==98p_{2k+1}+(10p_{2k}-p_{2k-1})-10p_{2k}\\&=98p_{2k+1}-p_{2k-1}\end{split}$

$\rightarrow 12n_{k+1}+5=98(12n_k+5)-(12n_{k-1}+5)\Rightarrow n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$

$\rightarrow n_0=0, n_1=40$

Vậy tất cả các số tự nhiên n cần tìm được xác định bởi dãy:

$(n_k)n_0=0,n_40=1,n_{k+1}=98n_k-n_{k-1}+40$

Vậy 40 chỉ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề bài