Đáp án+Giải thích các bước giải:

$\left[\begin{array}{l} m \ge 0 \\ m \le -\dfrac{16}{25}\end{array} \right.\\ Vi-et: x_1+x_2=5m\\ x_1x_2=-4m\\ d)S=25m^2+16m-6|x_1-x_2|\\ =25m^2+16m-6\sqrt{(x_1-x_2)^2}\\ =25m^2+16m-6\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ =25m^2+16m-6\sqrt{(5m)^2+16m}\\ =25m^2+16m-6\sqrt{25m^2+16m}(1)$

Để ý thì $25m^2+16m$ chính là $\Delta$, nên với điều kiện của $m$ ta luôn có $25m^2+16m \ge 0$

$t=\sqrt{25m^2+16m}, t \ge 0  \Rightarrow t^2=25m^2+16m\\ (1) \Leftrightarrow t^2-6t\\ =t^2-6t+9-9\\ =(t-3)^2-9 \ge \ 9 \ \forall \ t \ge 0 $

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow t=3 \Leftrightarrow 25m^2+16m=9 \Leftrightarrow m=-1;m=\dfrac{9}{25}$

$e)$Ta có $|x_1-x_2|=3$

$\Rightarrow (x_1-x_2)^2=9\\ \Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=9\\ \Leftrightarrow 25m^2+16m=9\\ \Leftrightarrow m=-1;m=\dfrac{9}{25}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn

$f)$Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$\Delta >0 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < -\dfrac{16}{25}\end{array} \right.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} S<0 \\ P>0 \\ \left[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < -\dfrac{16}{25}\end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 5m<0 \\ -4m>0 \\   \left[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < -\dfrac{16}{25}\end{array} \right. \end{array}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m<0 \\ m<0 \\ \left[\begin{array}{l} m > 0 \\ m < -\dfrac{16}{25}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m< -\dfrac{16}{25}.$