$\text{a) Xét ΔBID và ΔCID có:}$

$\text{DI chung}$

$\text{$\widehat{DIB}$ = $\widehat{DIC}$ = $90^{o}$ (DI là đg trung trực của BC)}$

$\text{BI = CI (DI là đg trung trực của BC)}$

$\text{⇒ ΔBID = ΔCID (c.g.c)}$

$\text{⇒BD = CD (2 cạnh t/ứ)}$

$\text{ΔDBC cân tại D}$

$\text{b) Xét ΔDBC có:}$

$\text{DI là đg cao (DI ⊥ BC)}$

$\text{CA là đg cao (ΔABC vuông tại A)}$

$\text{DI ∩ AC tại H}$

$\text{⇒ H là trực tâm ΔDBC}$

$\text{⇒ BH là đg cao}$

$\text{⇒ BH ⊥ DC}$

$\text{c) Xét ΔBAC vuông tại A có:}$

$\text{$\widehat{BAC}$ + $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $180^{o}$ (đl tổng 3 góc)}$

$\text{⇒ $90^{o} + $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $180^{o}$}$

$\text{⇒ $\widehat{ABC}$ +$\widehat{BCA}$ = $90^{o}$}$

$\text{⇒ $\widehat{ABC}$ < $90^{o}$}$

$\text{mà $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HBI}$}$

$\text{⇒ $\widehat{ABH}$ < $90^{o}$}$

$\text{Có: $\widehat{CIH}$ = $90^{o}$}$

$\text{⇒ $\widehat{ABH}$ < $\widehat{CIH}$}$

$\text{mà $\widehat{ABH}$ đối diện với AH}$

$\text{và $\widehat{CIH}$ đối diện với HC}$ 

$\text{⇒ AH < HC}$

Bài 11:

a, Xét  ΔBID và ΔCID có:

BI = IC (gt)

góc BID = góc CID = 90 đọ (gt)

ID là cạnh chung

⇒ΔBID = ΔCID (2 cạnh góc vuông)

⇒góc DBI = góc DCI (2 góc tương ứng)

⇒ΔBDC cân tại D (đpcm)

b, Xét ΔBDC có:

ID ⊥ BC (gt) ⇒ ID là đường cao của ΔBCD

AC ⊥ AD (gt) ⇒ AC là đường cao của ΔBCD

mà AC cắt ID tại H

⇒BH cắt AC cắt ID tại H (t/c 3 đường cao của tam giác)

⇒BH là đường cao của ΔBCD

⇒ BH ⊥ CD (đpcm)

c, Xét ΔBCD có: góc BAC = 90 độ

⇒ góc ABC + góc ACB = 90 độ 

⇒ góc ABC < 90 độ ⇒ góc ABH < 90 độ

+, Ta có:

Cạnh AH đối diện với góc ABH

Cạnh HC đối diện với góc HIC

⇒ AH < HC (góc ABH < góc HIC)    (đpcm)