a) Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta ABC\) vuông tại B, ta có:

\(\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\\
A{C^2} = {5^2} + {12^2}\\
AC = 13\left( {cm} \right)
\end{array}\)

b) Xét tam giác \(\Delta ABE\) và \(\Delta DBE\), có:

     BA = BD (gt)

     BE: cạnh chung

     \(\widehat {ABE} = \widehat {DBE}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta DBE\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow EA = ED \Rightarrow \Delta AED\) cân tại E

c) Xét \(\Delta ACD\) có CB là đường trung tuyến, \(BE = \frac{1}{3}CD\)

Suy ra E là trọng tâm \(\Delta ACD\)

Suy ra AK là đường trung tuyến \(\Delta ACD \Rightarrow \) K là trung điểm CD

d) Lấy F thuộc tia đối của tia AK sao cho AK = KF. Chứng minh AF = 4EK.

Chứng minh \(\Delta KEC = \Delta FKD\left( {c - g - c} \right)DF//BC\)

Xét \(\Delta ADF\) vuông tại D \( \Rightarrow AD < AF \Rightarrow \) đpcm