Ta có

$\left( x + \dfrac{1}{x} \right)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$

Do đó, ptrinh trên tương đương vs

$\left(x + \dfrac{1}{x} \right)^2 + \left(x + \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{35}{4}$

Đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$

Khi đó, ptrinh trở thành

$t^2 + t = \dfrac{35}{4}$

$<-> 4t^2 + 4t - 35 = 0$

$<-> (2t - 5)(2t + 7) = 0$
Vậy $t = \dfrac{5}{2}$ hoặc $t = -\dfrac{7}{2}$

TH1: $t = \dfrac{5}{2}$

Khi đó, ta có

$x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$

$<-> 2x^2 -5x + 2 = 0$

$<-> (x-2)(2x -1) =0$
Vậy $x = 2$ hoặc $x = \dfrac{1}{2}$

TH2: $t = -\dfrac{7}{2}$
Khi đó, ta có

$x + \dfrac{1}{x} = -\dfrac{7}{2}$

$<-> 2x^2 + 7x + 2 = 0$

$<-> x = \dfrac{-7 \pm \sqrt{33}}{4}$

Vậy tập nghiệm $S = \left\{ 2, \dfrac{1}{2}, \dfrac{-7 \pm \sqrt{33}}{4} \right\}$.

Đáp án: phương trình có nghiệm $S=\left \{ \dfrac{-7+\sqrt{33}}{4};\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4};x=\dfrac{1}{2};2 \right \}$

Giải thích các bước giải:

$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{27}{4}(ĐK:x\neq 0)\\\Leftrightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+x+\dfrac{1}{x}-\dfrac{27}{4}=0\\\Leftrightarrow \dfrac{4x^{4}+4+4x^{3}+4x-27x^{2}}{4x^{2}}=0\\\Leftrightarrow 4x^{4}+4+4x^{3}+4x-27x^{2}=0\\\Leftrightarrow 4x^{4}+4x^{3}-27x^{2}+4x+4=0\\\Leftrightarrow 4x^{4}-2x^{3}+6x^{3}-3x^{2}-24x^{2}+12x-8x+4=0\\\Leftrightarrow 2x^{3}(2x-1)+3x^{2}(2x-1)-12x(2x-1)-4(2x-1)=0\\\Leftrightarrow (2x-1)(2x^{3}+3x^{2}-12x-4)=0\\\Leftrightarrow (2x-1)(2x^{3}-4x^{2}+7x^{2}-14x+2x-4)=0\\\Leftrightarrow (2x-1)[2x^{2}(x-2)+7x(x-2)+2(x-2)]=0\\\Leftrightarrow (2x-1)(x-2)(2x^{2}+7x+2)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x-1=0\\x-2=0\\2x^{2}+7x+2=0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\x=2\\x=\dfrac{-7+\sqrt{33}}{4}\\x=\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4}\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $S=\left \{ \dfrac{-7+\sqrt{33}}{4};\dfrac{-7-\sqrt{33}}{4};x=\dfrac{1}{2};2 \right \}$