2)

Kẻ $IE\bot AM\,\,;\,\,IF\bot AN$

$\Rightarrow AE=AF\,\,;\,\,NF=ND\,\,;\,\,MD=ME$

Trước hết, ta có:

+  $AO$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (tính chất tiếp tuyến)

+  $AI$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (vì $I$ tâm nội tiếp)

Nên 3 điểm $A,I,O$ thẳng hàng

Ta có: $\left( AE+AF \right)+\left( NF+ND \right)+\left( MD+ME \right)=AM+AN+MN$

$\Rightarrow 2AF+2NF+2MD=AM+AN+MN$

$\Rightarrow 2AN+2MD=AM+AN+MN$

$\Rightarrow 2MD=AM-AN+MN\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $2NT=2NC$

$\Rightarrow 2NT=2AC-2AN$

$\Rightarrow 2NT=AB+AC-2AN$

$\Rightarrow 2NT=\left( AM+MB \right)+\left( AN+NC \right)-2AN$

$\Rightarrow 2NT=AM-AN+\left( MB+NC \right)$

$\Rightarrow 2NT=AM-AN+MN\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow MD=NT$

Lại có:

+  $\widehat{MDI}=\widehat{NTK}=90{}^\circ $

+  $ID=KT$ (vì là hình bình hành)

Nên $\Delta MDI=\Delta NTK\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow MI=NK$ và $MI//NK$

$\Rightarrow MINK$ là hình bình hành

$\Rightarrow MI//NK$   và   $NI//MK$

Ta có:

+  $MI$ là tia phân giác $\widehat{AMN}$ (vì $I$ tâm nội tiếp)

+  $MO$ là tia phân giác $\widehat{BMN}$ (tính chất tiếp tuyến)

Mà $\widehat{AMN}$ và $\widehat{BMN}$ là hai góc kề bù

Nên $MI\bot MO$

Tương tự $NI\bot NO$

Do đó $MK\bot NO$ và $NK\bot MO$

Như vậy $K$ là trực tâm $\Delta OMN$

3)

Ta sẽ chứng minh $T,I,J$ thẳng hàng trước

Thứ nhất, ta có hai ý $IF=ID$ và $OC=OT$

Trong $\Delta ACO$ có $IF//OC$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{AO}=\dfrac{IF}{OC}=\dfrac{ID}{OT}$ (hệ quả định lý Ta-let)

Trong $\Delta AJO$ có $ID//AJ$

$\Rightarrow \dfrac{AI}{AO}=\dfrac{JD}{JO}$ (Định lý Ta-let)

Như vậy $\dfrac{ID}{OT}=\dfrac{JD}{JO}$

Kết hợp $\widehat{JDI}=\widehat{JOT}$ (hai góc đồng vị)

Nên $\Delta JDI\backsim\Delta JOT\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{DJI}=\widehat{OJT}$

$\Rightarrow T,I,J$ thẳng hàng

$\Delta OAJ$ có $ID//AJ\,\,\,\Rightarrow \dfrac{ID}{AJ}=\dfrac{OD}{OJ}$

$\Delta ODT$ có $OT//HJ$$\Rightarrow \dfrac{OD}{OJ}=\dfrac{TD}{TH}$

$\Delta THJ$ có $ID//HJ\,\,\,\Rightarrow \dfrac{TD}{TH}=\dfrac{ID}{HJ}$

$\Rightarrow \dfrac{ID}{AJ}=\dfrac{ID}{HJ}$

$\Rightarrow AJ=HJ$

$\Rightarrow J$ là trung điểm của $AH$