a) Xét tứ giác $ADHE$ có:

 \(\widehat{BAC}=\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^o\)

$⇒$ Tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật

$⇒$ $AH = DE$ ( theo tính chất hình chữ nhật )

b) Xét $ΔECH$ vuông ở $E$

$⇒$ $EQ = HQ =$ \(\dfrac{1}{2}HC\)

Xét hình chữ nhật $ADHE$

$⇒$ $OH = OE = OD$

Xét $ΔQEO$ và $ΔQHO$ có :

$HQ = EQ ( cmt )$

$OH = OE ( cmt )$

$OQ chung$

$⇒$ $ΔQEO = ΔQHO ( c.c.c )$ $⇒$ $\widehat{OHQ}=\widehat{OEQ}$

Mà: $\widehat{OHQ}=90^o\Rightarrow\widehat{QEO}=90^o\Rightarrow EQ\perp DE$

Chứng minh tương tự, ta được $ΔDPO = ΔHPO ( c.c.c )$

$⇒$ $PD ⊥ DE$

\(EQ\perp DE\\ PD\perp DE\) ( cmt )

$⇒$ $EQ // PD $

$⇒$ Tứ giác $DEQP$ là hình thang

Mà \(\widehat{PDE}=90^o\left(cmt\right)\) $⇒$ Tứ giác $DEQP$ là hình thang cân

c) Dễ chứng minh được $QO$ là đường trung bình $ΔAHC$

$⇒$ $QO // AC$ mà $AC ⊥ AB$ $⇒$ $QO ⊥ AB$

$⇒$ $QO$ là đường cao $ΔABQ$ tại đỉnh $B$

$ΔABQ$ có $AH$ , $QO$ lần lượt là đường cao của $BQ$ và $AB$

Mà \(AH\cap QOtạiO\)

$⇒$ $O$ là trực tâm $ΔABQ$

d) Ta có :

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}BC\cdot AH\\ =\dfrac{1}{2}\left(BH+CH\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\left(2DP+2EQ\right)\cdot DE\\ =\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(DP+EQ\right)\cdot DE\\ =\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

\(S_{DEQP}=\dfrac{1}{2}\left(DP+EQ\right)\cdot ED\)

Mà $S_{\Delta ABC} = ( DP + EQ ) . DE$

$⇒$ $S_{\Delta ABC} = 2S_{DEQP}$