$a)$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên ta có:

$\widehat{MAD} =\widehat{MCK};\widehat{MAN}=\widehat{MCD}$

(Những cặp góc sole trong)

Xét $\Delta AMD$ và $\Delta CMK$ ta có: 

$\widehat{MAD} =\widehat{MCK}$

$\widehat{AMD} =\widehat{CMK}$ (Hai góc đổi đỉnh)

Do đó: $\Delta AMD \sim \Delta CMK(g-g)$

$\Rightarrow \frac{AM}{CM}=\frac{MD}{MK}(1)$

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta CMD$ ta có: 

$\widehat{MAN}=\widehat{MCD}$

$\widehat{AMN}=\widehat{CMD}$ (Hai góc đối đỉnh)

Do đó:  $\Delta AMN \sim \Delta CMD(g-g)$

$\Rightarrow \frac{AM}{CM}=\frac{MN}{MD}(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra: 

$\frac{MN}{MD}=\frac{MD}{MK}\Leftrightarrow MD^2=MK.MN$

$b)$ 

Từ $MD^2=MK.MN$

$\Leftrightarrow MD^2+DM.MN=MK.MN+DM.MN\Leftrightarrow DM(DM+MN)=DK.MN$

$\Leftrightarrow DM.DN=DK.MN$

$\Leftrightarrow DM.DN=DK(DN-DM)(*)$

Nhận thấy $DN,DK,DM$ là độ dài đoạn thẳng nên:

Chia hai vế của đẳng thức $(*)$ cho DN.DK.DM ta được:

$\frac{DN.DM}{DN.DK.DM}=\frac{DK(DN-DM)}{DN.DK.DM}\Leftrightarrow \frac{DK.(DM-DN)+DN.DM}{DN.DK.DM}$

$\Leftrightarrow \frac{DK.DM+DN.DM-DN.DK}{DN.DK.DM}=0\Leftrightarrow \frac{1}{DN}+\frac{1}{DK}=\frac{1}{DM}$

$c)$ 

Xét $\Delta ADN$ và $\Delta CKD$ ta có:

$\widehat{ADN}=\widehat{CKD}$

$\widehat{CDK}=\widehat{AND}$

(Những cặp góc sole trong)

Do đó $\Delta ADN \sim \Delta CKD$

$\Rightarrow \frac{AD}{CK}=\frac{AN}{CD}\Leftrightarrow AD.CD=CK.AN$

Vì $AD,CD$ là cạnh của hình bình hành $ABCD$ nên $CK.AN$ không phụ thuộc ví trí của đường thẳng $d$.