a) Vì `ΔABC` vuông tại C . Áp dụng định lý `Py-ta-go` ta có:

`CB^2 + CA^2 = AB^2`

Thay `CB = 15 , CA = 20 => 15^2 + 20^2 = AB^2 = 625 => AB = 25`

Vậy `AB = 25cm `

b) Có `CE ⊥ BD => ΔCED` vuông tại `E , ΔCEB` vuông tại `E`

Xét `ΔCED` và `ΔCEB` cùng vuông tại `E` có:

                 `CD = CB (Theo gt)`

                  `CE chung`

`=>ΔCED = ΔCEB`  ( cạnh huyền cạnh góc vuông )

Vậy `ΔCED = ΔCEB`

c) vì  `ΔCED = ΔCEB => \hat{ECD} = \hat{ECB} `(hai góc tương ứng )

Xét `ΔCDF` và `ΔCBF` có :

                `CF chung`

                `CD = CB` (Theo gt)

               `\hat{ECD} = \hat{ECB}`

`=>ΔCDF = ΔCBF (c.g.c) => FD = FB` ( hai cạnh tương ứng)

`=> ΔFDB` cân tại F

d) Vì `\hat{FDC} = \hat{FBC} => \hat{ADF} = \hat{KBF}`

( vì cg kề bù với hai góc \hat{FDC} và \hat{FBC} )

Xét ΔFDA và ΔFBK có:

               `FD  = FB `(theo trên)

               `AFD = KFB `( hai góc đối đỉnh )

               ` \hat{ADF} = \hat{KBF} `( theo trên )

`=> ΔFDA = ΔFBK ( g.c.g)`

Vậy `ΔFDA = ΔFBK`

e) Vì `ΔFDA = ΔFBK => BK = AD`

`=> CD + AD = CB + BK => CA = CK `

`=>  ΔACK cân tại C => \hat{ADF} = 90^o - (\hat{ADF})/2`

Vì ΔCDB cân tại C `=> \hat{BDC} = 90^o - (\hat{ADF})/2 `

`=> \hat{ADF}  = \hat{BDC}`

Mà `\hat{BDC}` và `\hat{ADF}` là hai góc đồng vị `=> AK // DB `

Vậy `AK // DB`