Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ với $AM$ trung tuyến

Nên $AM\bot BC$ và có $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}=45{}^\circ $

Tức là $\Delta MAB$ và $\Delta MAC$ vuông cân tại $M$

$\Rightarrow MA=MB=MC$

Gọi $G$ là trung điểm $AM$ $\Rightarrow GM=\dfrac{1}{2}MA$

Mà ta có $MD=\dfrac{1}{2}MA\left( gt \right)$

Nên $GM=MD=\dfrac{1}{2}MA=\dfrac{1}{2}MB=\dfrac{1}{2}MC$

$\Rightarrow GM+MD=\dfrac{1}{2}MA+\dfrac{1}{2}MA$

$\Rightarrow GD=MA=MB=MC$

Lấy điểm $F$ sao cho $E$ là trung điểm $GF$

Dễ chứng minh $\Delta AEG=\Delta CEF\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow AG=CF$   và   $\widehat{EAG}=\widehat{ECF}$

$\Rightarrow MG=CF$   và   $AM//CF$

$\Rightarrow MG=CF$   và   $\widehat{MGC}=\widehat{FCG}$

Kết hợp cạnh $CG$ là cạnh chung

Suy ra được $\Delta MGC=\Delta FCG\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow MC=GF$   và   $\widehat{MCG}=\widehat{FGC}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}MC=\dfrac{1}{2}GF$   và   $GF//MC$

$\Rightarrow MD=GE$   và   $GF\bot AM$

Xét $\Delta BMD$ và $\Delta DGE$, ta có:

+   $MD=GE\left( cmt \right)$

+   $\widehat{BMD}=\widehat{DGE}=90{}^\circ $

+   $MB=GD\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \Delta BMD=\Delta DGE\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow BD=DE$   và   $\widehat{BDM}=\widehat{DEG}$

$\Rightarrow \Delta BDE$ cân tại $D$ và $\widehat{BDM}=\widehat{DEG}$

Mà ta có $\widehat{DEG}+\widehat{GDE}=90{}^\circ $

Nên $\widehat{BDM}+\widehat{GDE}=90{}^\circ $

Hay là $\widehat{BDE}=90{}^\circ $

Chứng tỏ $\Delta BDE$ vuông cân tại $D$

Vậy các góc của $\Delta BDE$ bao gồm:

+   $\widehat{DBE}=\widehat{DEB}=45{}^\circ $

+   $\widehat{BDE}=90{}^\circ $