Đáp án:

a) DE=4 cm; $\widehat{F}<\widehat{E}<\widehat{D}$

b) $\Delta FKE$ cân tại F

c) $FG\approx 2,67$ cm

d) E, G, M thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a) $\Delta DEF$ vuông tại D (gt)
$DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}$ (định lý Pytago)
$\Leftrightarrow DE=4$ (cm)
Vì $DE<DF<EF (3cm<4cm<5cm)$
$\Rightarrow \widehat{F}<\widehat{E}<\widehat{D}$ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
b) Xét $\Delta EDF$ và $\Delta KDF$ có:
ED=DK (gt)
$\widehat{EDF}=\widehat{KDF}(=90^{0})$
DF chung
$\Rightarrow \Delta EDF=\Delta KDF$ (c.g.c)
$\Rightarrow FE=FK$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow \Delta FKE$ cân tại F
c) Trong $\Delta KEF$ có FD và KI là các đường trung tuyến (do D là rung điểm của KE, I là trung điểm của EF)
mà G là giao điểm của FD và KI
$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\Delta KEF$ (1)
$\Rightarrow FG=\frac{2}{3}FD$
$\Rightarrow FG=\frac{2}{3}.4=\frac{8}{3}\approx 2,67$ (cm)
d) Gọi P là giao điểm của d và DF, N là hình chiếu của K trên d
$\Rightarrow KN//DP, DK//PN$
Bạn chứng minh hai $\Delta DKN$ và $\Delta NPD$ (g.c.g) bằng nhau nhé !
$\Rightarrow KN=DP$
mà DP=PF
$\Rightarrow KN=PF$
Bạn chứng minh hai $\Delta PFM$ và $\Delta NKM$ (g.c.g)
$\Rightarrow KM=FM$ (hai cạnh tương ứng)
$\Rightarrow EM$ là đường trung tuyến của $\Delta KEF$ (2)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow EM$ đi qua G hay E, G, M thẳng hàng

Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Theo\,Pytago:\\
D{E^2} + D{F^2} = F{E^2}\\
 \Rightarrow D{F^2} = {5^2} - {3^2} = 16\\
 \Rightarrow DF = 4\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow DE < DF < FE\\
 \Rightarrow \widehat F < \widehat E < \widehat D\\
b)\Delta DEF;\Delta DKF:\\
 + DE = DK\\
 + \widehat {EDF} = \widehat {KDF} = {90^0}\\
 + DF\,chung\\
 \Rightarrow \Delta DEF = \Delta DKF\left( {c - g - c} \right)\\
 \Rightarrow EF = KF\\
 \Rightarrow \Delta EKF\,cân
\end{array}$

c)

Tam giác EKF có 2 đường trung tuyến FD và KI cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm tg EKF

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{{FG}}{{FD}} = \frac{2}{3}\\
 \Rightarrow GF = \frac{2}{3}.4 = \frac{8}{3}\left( {cm} \right)
\end{array}$

d) Đường trung trực của DF đi qua trung điểm H của DF và vuông góc với DF

=> M là trung điểm của FK

Do G là trọng tâm của tg EKF
=> EG đi qua trung điểm của KF

=> E,G,M thẳng hàng